(2002•西藏)已知,如圖AB是⊙O的直徑,半徑OC⊥AB,弦CD與AB交于點(diǎn)E.
(1)求證:△CBE∽△CDB;
(2)若AB=4,設(shè)CE的長(zhǎng)為x,CD的長(zhǎng)為y,寫出y與自變量x的函數(shù)關(guān)系式(不寫自變量x的取值范圍).
分析:(1)由兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證明△CBE∽△CDB;
(2)由勾股定理可求出BC的長(zhǎng),由(1)中的結(jié)論即可得到y(tǒng)與自變量x的函數(shù)關(guān)系式.
解答:(1)證明:∵半徑OC⊥AB,
∴∠COB=90°,
∴∠D=45°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
∴∠OBC=∠D=45°,
∴∠DCB=∠BCE,
∴△CBE∽△CDB;

(2)∵∠COB=90°,AB=4,
∴OB=OC=4,
∴BC=
OB2+OC2
=4
2
,
∵△CBE∽△CDB,
BC
CD
=
CE
BC
,
∵CE的長(zhǎng)為x,CD的長(zhǎng)為y,
4
2
y
=
x
4
2

∴y=
32
x
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及由相似三角形的性質(zhì)得到的比例式所引發(fā)的線段之間的函數(shù)關(guān)系.
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