Question

如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D，△ADC的外接圓與BC的另一個交點為E．證明：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

【答案】分析：首先里射影定理得出PA²=PD•PO，AD²=PD•OD，進(jìn)而得出PB•PC=PD•PO，即D、B、C、O四點共圓，再利用△PBD∽△COD得出BD•CD=PD•OD=AD²，由△BDA∽△ADC得出AB是△ADC的外接圓的切線，即可得出∠BAE=∠ACB．
解答：證明：連接OA，OB，OC，BD．
∵OA⊥AP，AD⊥OP，
∴由射影定理可得：PA²=PD•PO，AD²=PD•OD．…（5分）
又由切割線定理可得 PA²=P B•P C，
∴P B•P C=PD•PO，
∴D、B、C、O四點共圓，…（10分）
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，
∴△PBD∽△COD，
∴，…（15分）
∴BD•CD=PD•OD=AD²，
∴．
又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC，
∴△BDA∽△ADC，…（20分）
∴∠BAD=∠ACD，
∴AB是△ADC的外接圓的切線，
∴∠BAE=∠ACB．…（25分）
點評：此題主要考查了四點共圓以及相似三角形的性質(zhì)與判定和射影定理得出等知識，根據(jù)已知得出D、B、C、O四點共圓以及AB是△ADC的外接圓的切線是解題關(guān)鍵．