Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²-2ax+b經(jīng)過(guò)A（-2，0），C（2，8）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)P是線段BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)B開(kāi)始以1個(gè)單位每秒的速度沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；

（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，直線PE掃過(guò)四邊形ABCD的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）能否將△OEB繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后使得△OEB的兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將原式配方，再將A（-2，0），C（2，8）代入解析式即可求出a、b的值，從而得到函數(shù)的解析式；
（2）將掃過(guò)的面積轉(zhuǎn)化為△PEB和△PFB兩個(gè)三角形的面積之和來(lái)表示，用含t的代數(shù)式表示出BP的長(zhǎng)，表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線PE的表達(dá)式，再求出直線BC的解析式，將二者組成方程組，求出F的縱坐標(biāo)，即可表示出△PFB的面積表達(dá)式；易得，△BPE的表達(dá)式，將二者相加即可．
（3）分為3種情況，①旋轉(zhuǎn)后OE在拋物線上；②旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上；③旋轉(zhuǎn)后BE在拋物線上解答．

解答：解：（1）y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∵過(guò)點(diǎn)A（-2，0），C（2，8），
∴

a(-2-1)2-a+b=0 a(2-1)2-a+b=8

解得

a=-1 b=8

．
故此拋物線的解析式為y=-x²+2x+8；

（2）由拋物線的解析式為y=-x²+2x+8可得B（4，0），
∵P（4-t，0），E（0，-2），
設(shè)一次函數(shù)EP的解析式為y=kx+b，將P（4-t，0），E（0，-2）分別代入解析式得，

(4-t)k+b=0 b=-2

，
解得，

k= 2 4-t b=-2

，
一次函數(shù)解析式為y=

2

4-t

x-2．
設(shè)BC的解析式為y=ax+c，
將C（2，8），B（4，0）代入解析式得，

2a+b=8 4a+b=0

，
解得

a=-4 b=16

，
函數(shù)解析式為y=-4x+16．
將y=-4x+16和y=

2

4-t

x-2組成方程組得，

y=-4x+16 y= 2 4-t x-2

，
解得

x= 36-9t 9-2t y= 4t 9-2t

，
S=

1

2

×（4-t）×

4t

9-2t

=

2t(4-t)

9-2t

．


（3）分為3種情況，①旋轉(zhuǎn)后OE在拋物線上；②旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上；③旋轉(zhuǎn)后BE在拋物線上．
1、旋轉(zhuǎn)后OE在拋物線上：
設(shè)為O′E′，則O′E′平行于x軸，拋物線y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，對(duì)稱軸x=1，
則x₁=1-

1

2

|OE|=1-1=0，x₂=1+1=2．
則兩點(diǎn)為（0，8）、（2，8）．
這時(shí)分別：①O′（0，8）、E′（2，8）；
②E′（0，8）、O′（2，8）．
然后分兩種情況分別作OO'，EE'的中垂線，其交點(diǎn)即為其旋轉(zhuǎn)中心．
∵OO′的解析式為y=4，易得，EE′的解析式為y=5x-2，則EE′的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
其中垂線解析式為y=-

1

5

x+b，將（1，3）代入解析式得，b=

16

5

，
則解析式為y=-

1

5

x+

16

5

，當(dāng)y=4時(shí)，x=-4．
旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為（-4，4）．
2、旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上：
OB∥y軸，則O′B′∥x軸，但拋物線y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，不成立．
3、旋轉(zhuǎn)后BE在拋物線上：
BE邊旋轉(zhuǎn)90°后所得線段B'E'與BE垂直，直線斜率k_BE=

1

2

，則k_B'E'=-2．
設(shè)旋轉(zhuǎn)后B'E'所在直線方程為：y=-2x+m．
拋物線：y=-x²+2x+8，聯(lián)立，解方程，得：
（x，y）=（2+

12-m

，m-4-2

12-m

） 或 （x，y）=（2-

12-m

，m-4+2

12-m

）
此為兩交點(diǎn)坐標(biāo)，求距離使其等于|BE|=

20

=2

5

．有：
|BE|=

20(12-m)

=

20

，從而有m=11，
兩點(diǎn)坐標(biāo)：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）兩種情況，
分別作BB′與EE′的垂直平分線，兩者交點(diǎn)即為其旋轉(zhuǎn)中心．
綜上，同1中解法，共有4種可能性，4個(gè)旋轉(zhuǎn)中心，（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，拋物線的性質(zhì)、方程組的解法等知識(shí)，綜合性極強(qiáng)，難度較大．