Question

如圖，正方形ABCD中，G是BC中點(diǎn)，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，GN∥DE，M是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。

（1）求證：△ABF≌△DAE

（2）尺規(guī)作圖：作∠DCM的平分線，交GN于點(diǎn)H（保留作圖痕跡，不寫作法和證明），試證明GH=AG

Answer 1

解：∵ 四邊形ABCD是正方形

∴ AB=BC=CD=DA     

∠DAB=∠ABC=90° 

∴ ∠DAE+∠GAB=90° 

∵ DE⊥AG   BF⊥AG

∴ ∠AED=∠BFA=90°

∠DAE +∠ADE=90°

    ∴ ∠GAB =∠ADE   

在△ABF和△DAE中

    ∴ △ABF≌△DAE   

（2）作圖略   方法1：作HI⊥BM于點(diǎn)I 

∵ GN∥DE

∴ ∠AGH=∠AED=90°

∴ ∠AGB+∠HGI=90°

∵ HI⊥BM

∴ ∠GHI+∠HGI=90°

∴ ∠AGB =∠GHI 

∵ G是BC中點(diǎn)

∴ tan∠AGB=

∴ tan∠GHI= tan∠AGB=

∴ GI=2HI     

∵ CH平分∠DCM

∴ ∠HCI=

∴ CI=HI

∴ CI=CG=BG=HI   

在△ABG和△GIH中

∴ △ABG≌△GIH   

∴ AG=GH   

方法2： 作AB中點(diǎn)P，連結(jié)GP  

∵ P、G分別是AB、BC中點(diǎn) 且AB=BC

∴ AP=BP=BG=CG    ∴ ∠BPG=45°

∵ CH平分∠DCM

∴ ∠HCM=

∴ ∠APG=∠HCG=135

∵ GN∥DE

∴ ∠AGH=∠AED=90°

∴ ∠AGB+∠HGM=90°

∵ ∠BAG+∠AGB=90°

∴ ∠BAG =∠HGM   

在△AGP和△GHC中

∴ △AGP≌△GHC  

∴ AG=GH