Question

【題目】已知：為直線(xiàn) 上的一點(diǎn)，以為觀(guān)察中心，射線(xiàn)表示正北方向，表示正東方向（即），射線(xiàn)，射線(xiàn)的方向如各圖所示．

（1）如圖1所示，當(dāng) 時(shí)：

①若，則射線(xiàn)的方向是 ．

② 與 的關(guān)系為 ，

③ 與 的關(guān)系為 ．

（2）若將射線(xiàn)，射線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖的位置，另一條射線(xiàn)恰好平分，旋轉(zhuǎn)中始終保持．

①若，則 度 .

②若，則 （用含 的代數(shù)式表示）．

（3）若將射線(xiàn)，射線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖的位置，射線(xiàn)仍然平分，旋轉(zhuǎn)中始終保持，則與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①北偏東20°；②相等；③互補(bǔ).（2）①24°；②2β.（3）∠CON=2∠AOF，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①根據(jù)方向角的定義即可求解；②根據(jù)同角的余角相等即可得出結(jié)論；③先根據(jù)同角的余角相等得出∠EON=∠BOC,再根據(jù)兩角互補(bǔ)的定義即可得出結(jié)果.
（2）①根據(jù)同角的余角可知∠AOC=∠MOE，又根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠COF=∠MOF，兩式相減即可得出結(jié)果.②由①知∠AOF=∠EOF=β，又由∠CON=∠AOE即可得出結(jié)果.
（3）根據(jù)角的和差，以及角平分線(xiàn)的定義即可求解．

解：（1）①北偏東20°

②∵由題意知，∠AOE+∠EON=90°，∠NOC+∠EON=90°，

∴∠AOE=∠CON.

③由題意知，∠BOC+∠NOC=90°，∠NOC+∠EON=90°，

∴∠BOC=∠EON,

又∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠AOC+∠EON=180°.

故答案為：①北偏東20°；②相等；③互補(bǔ).

（2）①由題意知，∠AOC+∠AOE=90°，∠MOE+∠AOE=90°，

∴∠AOC=∠MOE,

又OF為∠COM的角平分線(xiàn)，

∴∠COF=∠MOF,

∴∠COF-∠AOC =∠MOF-∠MOE，

∴∠AOF=∠EOF=24°.

②由①知，∠AOF=∠EOF=β，

∴∠CON=∠AOE=2∠AOF=2β.

故答案為：①24°；②2β.

（3）∵∠CON=180°-∠COM=180°-2∠MOF.

又∠AOF=90°-∠MOF,∴2∠AOF=180°-2∠MOF.

∴∠CON=2∠AOF.