Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，點G是BC，AE延長線的交點，AG與CD相交于點F．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）當AE＝3EF，DF＝1時，求GF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，利用三角形外角的性質，即可得∠CBE＝∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形；

（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，得到△AEB∽△FED，求得，于是得到AB＝3DF＝3，由正方形的性質得到CD＝AD＝AB＝3，求出CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，通過△ADF∽△GCF，得到，于是得到CG＝2AD＝6，根據勾股定理即可得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∵∠BAE＝∠BCE，

∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，

即∠DAE＝∠DCE，

在△AED和△CED中，

，

∴△AED≌△CED（AAS），

∴AD＝CD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴四邊形ABCD是正方形；

（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴△AEB∽△FED，

∴，

∵AE＝3EF，DF＝1，

∴AB＝3DF＝3，

∴CD＝AD＝AB＝3，

∴CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，

∵AD∥CG，

∴△ADF∽△GCF，

∴，

∴CG＝2AD＝6，

在Rt△CFG中，GF＝．