Question

如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．
（1）說明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC會滿足怎樣的關系，證明你的結論．
（3）若將折線繼續(xù)折下去，折三次，折四次…折n次，又會得到怎樣的結論？請寫出你的結論．

Answer 1

（1）證明：過O作OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥CD，
∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，
∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，
即∠EOF=∠BEO+∠DFO．

（2）∠BEO、∠O、∠P、∠PFC會滿足的關系式是：∠BEO+∠P=∠O+∠PFC，
解：過O作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，
∴∠EOP-∠OPF=（∠EOM+∠MOP）-（∠OPN+∠NPF）=∠EOM-∠NPF，
∠BEO-∠PFC=∠EOM-∠NPF，
∴∠BEO-∠PFC=∠EOP-∠OPF，
∴∠BEO+OPF=∠EOP+∠PFC．
（3）解：令折點是1，2，3，4，…，n，
則：∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC．
分析：（1）過O作OM∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，相加即可求出答案；
（2）過O作OM∥AB，PN∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，代入求出即可；
（3）根據(jù)（1）（2）總結出規(guī)律，即可得出當折點是1，2，3，4，…，n時∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)的應用，解此題的關鍵是正確作輔助線，并根據(jù)證出的結果得出規(guī)律，題目比較典型，但是有一定的難度．