Question

已知：如圖，A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC，AC=

1

2

OB．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）求證：AB是⊙O的切線，可以轉(zhuǎn)化為證∠OAB=90°的問(wèn)題來(lái)解決．本題應(yīng)先說(shuō)明△ACO是等邊三角形，則∠O=60°；又AC=

1

2

OB，進(jìn)而可以得到OA=AC=

1

2

OB，則可知∠B=30°，即可求出∠OAB=90°．
（2）作AE⊥CD于點(diǎn)E，CD=DE+CE，因而就可以轉(zhuǎn)化為求DE，CE的問(wèn)題，根據(jù)勾股定理就可以得到．

解答：（1）證明：如圖，連接OA；
∵OC=BC，AC=

1

2

OB，
∴OC=BC=AC=OA．
∴△ACO是等邊三角形．
∴∠O=∠OCA=60°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
又∠OCA為△ACB的外角，
∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，
∴∠B=30°，又∠OAC=60°，
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：作AE⊥CD于點(diǎn)E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=

2

；
∵∠D=30°，
∴AD=2

2

，
∴DE=

3

AE=

6

，
∴CD=DE+CE=

6

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．