Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)M重合）．點(diǎn)Q在上半圓上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ=PO，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)∠QPA=90°時(shí)，判斷△QCP是

等腰直角

三角形；
（2）當(dāng)∠QPA=60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；
（3）由（1）、（2）得出的結(jié)論，進(jìn)一步猜想，若∠PCQ=30°，求∠QPC的度數(shù)，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AM上哪一特殊位置？

Answer 1

分析：（1）利用切線的性質(zhì)得出∠OQC=90°，進(jìn)而利用∠QPA=90°，PQ=PO，得出∠OCQ=45°，進(jìn)而得出△QCP是等腰直角三角形；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)得出∠PQC=60°，即可得出答案；
（3）利用切線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)得出△OPQ為等邊三角形，進(jìn)而得出∠QPC的度數(shù)，以及點(diǎn)P的位置．

解答：解：（1）如圖1，連接OQ，
∵過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線，
∴∠OQC=90°，
∵∠QPA=90°，PQ=PO，
∴∠QOP=45°，
∴∠OCQ=45°，
∴△QCP是等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角；

（2）等邊三角形，
理由：如圖2，連接QO，
∵PQ=PO，∴∠QOP=∠OQP，
∵∠QPA=60°，
∴∠OQP=

1

2

∠QPA=30°，
∵QC為切線，∴∠OQC=90°，
∴∠PQC=60°，
∴△QCP為等邊三角形．

（3）∵QC為圓的切線，
∴∠OQC=90°，
∵∠PCQ=30°，∴∠QOC=60°，
∴△OPQ為等邊三角形，
∴∠OPQ=60°，OP=OQ，
∴∠QPC=120°，此時(shí)點(diǎn)P在圓上與點(diǎn)A重合．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)和等邊三角形的判定等知識(shí)，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．