Question

（本小題滿分7分）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4）

（1）當(dāng)時，求弦PA、PB的長度；

（2）當(dāng)x為何值時，的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【解析】

試題分析：根據(jù)切線和直徑的性質(zhì)得出∠PCA=∠APB，根據(jù)垂直得出PC∥AB從而說明△PCA和△APB相似，根據(jù)相似比得出=PC·AB，然后計算出AP的長度，根據(jù)Rt△ABP的勾股定理得出PB的長度；過O作OE⊥PD，根據(jù)垂徑定理得出PE=DE=x－2，從而得出CD=4－x，然后利用一元二次方程求出最大值.

試題解析：（1）∵⊙O與直線l相切于點A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB. ∴ 即=PC·AB

∵PC=，AB=4，∴PA==. ∴在Rt△APB中，由勾股定理得：PB=.

（2）過O作OE⊥PD，垂足為E. ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD.

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2. ∴CD=PC－PD=x－2（x－2）=4－x

∴PD·CD=2（x－2）·（4－x）=－2+12x－16=－2+2

∵2＜x＜4 ∴當(dāng)x=3時，PD·CD有最大值，最大值是2.

考點：圓的基本性質(zhì)、相似三角形、勾股定理.

考點分析： 考點1：圓 圓，圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計算是近幾年各地中考命題的重點內(nèi)容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結(jié)論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內(nèi)容：①圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。垂徑定理是重點。② 直線和圓，圓和圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側(cè)面積和全面積的計算④圓與相似三角形，三角函數(shù)的綜合運用以及有關(guān)的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關(guān)行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識之間的相互轉(zhuǎn)化。②理解直線和原的三種位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定的歌，會根據(jù)條件解決圓中的動態(tài)問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關(guān)系來盤底的那個兩個圓的位置關(guān)系，對中考試題中常出現(xiàn)的閱讀理解題，探索題，要靈活運用圓的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行合理推理與計算。④掌握弧長，扇形面積計算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側(cè)面展開圖⑥對組合圖形 的計算要靈活運用計算方法解題。 試題屬性

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