【題目】
(1)如圖1,點P是ABCD內(nèi)的一點,分別過點B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH,垂足分別為E、F、H,猜想BE、CF、DH三者之間的關(guān)系,并證明;

(2)如圖2,若點P在ABCD的外部,△APB的面積為18,△APD的面積為3,求△APC的面積;

(3)如圖3,在(2)的條件下,增加條件:AB=BC,∠APC=ABC=90°,設(shè)AP、BP分別于CD相交于點M、N,當(dāng)DM=CN時, =(請直接寫出結(jié)論).

【答案】
(1)

解:過C作CG⊥BE于G,延長BC交AF于Q,

∵CF⊥AC,BE⊥AC,

∴四邊形CGEF是矩形,

∴EG=CF,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD=BC,AD∥BC,

∴∠DAH=∠Q,

∵CG∥AF,

∴∠G=∠BCG,

∴∠DAH=∠BCG,

在△ADH與△BCG中, ,

∴△ADH≌△BCG,

∴DH=BG,

∴BE=BG+EG=DH+CF


(2)

解:分別過點B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH,垂足分別為E、F、H,

由(1)知BE=DH+CF,

∵SADP= APDH,SABP= APBE,SACP= APCF,

∴SADP+SACP= AP(DH+CF)= APBE=SABP

∵△APB的面積為18,△APD的面積為3,

∴SAPC=15;


(3)
【解析】解:(3)過B作BE⊥AP于E,連接AC,

∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴∠DCA=∠CAB=45°,
在△ADM與△BCN中,
∴△ADM≌△BCN,
∴AM=BN,∠AMD=∠BNC,
∴∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN,
∴AP=BP,
∵∠ADC=∠APC=90°,
∴A,C,P,D四點共圓,
∴∠DPA=∠ACD=45°,
在△PDM與△PCN中, ,
∴△PDM≌△PCN,
∴∠CPN=∠DPM=45°,
∴∠APB=45°,
∴△BPE是等腰直角三角形,
∴PB=PA= BE,
∵SABP= APBE= × BEBE=18,
∴BE=3
∴AP=6 ,
∵APPC=30,
∴PC= ,
∵∠PDC=∠PCD=∠PAC,
∴tan∠PCM=tan∠PAC= = = ,
=
所以答案是:
【考點精析】利用三角形的面積對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知三角形的面積=1/2×底×高.

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①求證:∠FEA=∠FCA;
②猜想線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論:
(2)當(dāng)60°<∠BAC<120°,且△ACE與△ABC在直線AC的同側(cè)時,利用圖2畫出圖形探究線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出你的結(jié)論.

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