【題目】如圖,已知點A(3,0),以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點,與x軸的另一個交點為B,過B作⊙A的切線l.

(1)以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C(0,9),求此拋物線的解析式;
(2)拋物線與x軸的另一個交點為D,過D作⊙A的切線DE,E為切點,求DE的長;
(3)點F是切線DE上的一個動點,當△BFD與△EAD相似時,求出BF的長 .

【答案】
(1)解:由題意可知,拋物線的對稱軸為直線x=6,

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a (x-6)2+k,

∵拋物線經(jīng)過點A(3,0)和C(0,9),

∴將A,C兩點坐標代入得: ,解得:a= ,k=-3.

∴拋物線的解析式為y= (x-6)2-3


(2)解:連接AE,

∵DE是⊙A的切線,

∴∠AED=90°,AE=3 ,

∵直線l是拋物線的對稱軸,點A,D是拋物線與x軸的交點,

∴AB=BD=3,

∴AD=6 , 在Rt△ADE中,DE2=AD2-AE2=62-32=27,

∴DE=3


(3)解:利用有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,
當BF⊥ED時,∵∠AED=∠BFD=90°,∠ADE=∠BDF,
∴△AED∽△BFD,∴ ,即
∴BF=
當FB⊥AD時,∵∠AED=∠FBD=90°,∠ADE=∠FDB,
∴△AED∽△FBD ,
即BF=
∴當△BFD與△EAD相似時,BF的長為

【解析】(1)根據(jù)題意可知此拋物線的對稱軸為x=6,設(shè)拋物線的解析式為頂點式,再將點A、C兩點坐標代入解析式,建立方程求解,即可求出此函數(shù)解析式。
(2) 由DE是⊙A的切線,因此添加輔助線連接AE,得出∠AED=90°,AE=3 ,再根據(jù)圓的對稱性及拋物線的對稱性,求出AD的長, 在Rt△ADE中,利用勾股定理求出DE的長。
(3)抓住已知點F是切線DE上的一個動點,要使△BFD與△EAD相似,圖形中隱含公共角∠ADE=∠BDF,因此分兩種情況:當BF⊥ED時;當FB⊥AD時,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),得出對應(yīng)邊成比例,建立方程,即可求出BF的長。

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