Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（0，4），點(diǎn)A在線段OP上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD；過點(diǎn)C、D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N，設(shè)過O，C兩點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△       ≌△BMC（不需證明）；用含t的代數(shù)式表示A點(diǎn)縱坐標(biāo)：A（0，       ；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a，t的代數(shù)式表示b；
（3）當(dāng)t=1時(shí)，連接OD，若此時(shí)拋物線與線段OD只有唯一的公共點(diǎn)O，求a的取值范圍；
（4）當(dāng)拋物線開口向上，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)隨著t的增大向上移動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

（1）DNA或△DPA；；（2）C（4，t），；（3）a＞0或a＜或＜a＜0；（4）
0＜t≤．

試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根據(jù)圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系來求點(diǎn)A的坐標(biāo)：
∵∠DNA=∠AOB=90°，∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB與△DNA中，∵，∴△AOB≌△DNA（SAS）.
同理△DNA≌△BMC.
∵點(diǎn)P（0，4），AP=t，∴．
（2）利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等易推知：OM=OB+BM=t+=4，則C（4，t）．把點(diǎn)O、C的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax²+bx+c可以求得確.
（3）利用待定系數(shù)法求得直線OD的解析式．與拋物線聯(lián)立方程組，解得x=0或．
對(duì)于拋物線的開口方向進(jìn)行分類討論，即a＞0和a＜0兩種情況下的a的取值范圍.
（4）根據(jù)拋物線的解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)是．結(jié)合已知條件求得a=，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為．由拋物線的性質(zhì)知：只與頂點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故t的取值范圍為：0＜t≤．
試題解析：解：（1）DNA或△DPA；.
（2）由題意知，NA=OB=t，則OA=．
∵△AOB≌△BMC，∴CM="OB=t." ∴OM=OB+BM=t+="4." ∴C（4，t）．
又拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)O、C，
∴，解得.
（3）當(dāng)t=1時(shí)，拋物線為，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，∴DN=OA=3.
∵D（3，4），∴直線OD為：．
聯(lián)立方程組，得，消去y，得，
解得，x=0或.
所以，拋物線與直線OD總有兩個(gè)交點(diǎn)．
討論：①當(dāng)a＞0時(shí)，＞3，只有交點(diǎn)O，所以a＞0符合題意；
②當(dāng)a＜0時(shí)，若＞3，則a＜；
若＜0，則得a＞．∴＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍是a＞0或a＜或＜a＜0．
（4）∵拋物線為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
又∵對(duì)稱軸是直線x=，∴a=.
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，即．
∵拋物線開口向上，且隨著t的增大，拋物線的頂點(diǎn)向上移動(dòng)，
∴只與頂點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，∴t的取值范圍為：0＜t≤．