Question

如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，連接DE交AC于F，過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)．
（1）證明：AG=

1

2

AD；
（2）若DF=EF，求證：CE=AD．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等邊三角形就可以得出∠A=60°，由DG⊥AC就可以得出∠AGD=90°，從而得出∠ADG=30°，就可以得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，可以得到△DHF≌△ECF，就有DH=CE，再證明△ADH是等邊三角形就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∵∠ADG=30°，
∴AG=

1

2

AD；
（2）過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
在△DHF和△ECF中，

∠FDH=∠E ∠DFH=∠EFC DF=EF

，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DH=CE，
∴CE=AD．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)作DH∥BC是難點(diǎn)，證明三角形全等是關(guān)鍵．