如圖,拋物線與x軸相交于點A(-4,0),B(-2,0),直線AC過拋物線上的精英家教網(wǎng)點C(-1,3).
(1)求此拋物線和直線AC的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點是D,直線AC與拋物線的對稱軸相交于點E,點F是直線DE上的一個動點,求FB+FC的最小值;
(3)若點P在直線AC上,問在平面上是否存在點Q,使得以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形?若存在,請求出所有符合條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設(shè)交點式y(tǒng)=a(x+4)(x+2).
(2)點B的關(guān)于直線DE對稱點是點A,連AC交DE,交點就是F點.
(3)首先要分類,若AB為對角線,利用菱形對角線相互垂直平分,若AB為邊,四邊都等于2.
解答:解:(1)設(shè)該拋物線的解析式是y=a(x+4)(x+2)
把C(-1,3)代入得,
a=1.
∴該拋物線的解析式是y=x2+6x+8
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b
把A(-4,0),C(-1,3)代入得,
-4k+b=0
-k+b=3

解得
k=1
b=4

∴直線AC的解析式是y=x+4(4分)

(2)∵點A、B關(guān)于直線DE對稱,
∴FB=FA(6分)
∴FB+FC=FA+FC
當點F與點E重合時,F(xiàn)B+FC最小,最小值是3
2
(8分)

(3)當AB為菱形的對角線時,
菱形的另外兩個頂點在線段AB的中垂線上,
而點P又在直線AC上,
∴點P的坐標是P(-3,1)
∴Q1(-3,-1)(9分)
當AB為菱形的一邊時,
①當AP=2時,點P是以A為圓心,2為半徑的圓與直線AC的交點.
∴點P的坐標是(
2
-4,
2
)
(-
2
-4,-
2
)

Q2(
2
-2,
2
)
,Q3(-
2
-2,-
2
)
(11分)
②當BP=2時,點P是以B為圓心,2為半徑的圓與直線AC的交點.
∴點P的坐標是(-2,2)
∴Q4(-4,2)
∴在平面上存在點Q1(-3,-1),Q2(
2
-2,
2
)
Q3(-
2
-2,-
2
)
,Q4(-4,2),使得以點A,B,P,Q為頂點的四邊形是菱形.(12分)
點評:①合理選擇拋物線的解析式.②求直線上一點到直線外同旁兩點的距離之和最小的問題要轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短來解決.③此類問題要分類討論,利用圖形的幾何性質(zhì)解決.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知A(5,-4),⊙A與x軸分別相交于點B、C,⊙A與y軸相且于點D,
(1)求證過D、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)連接BD,求tan∠BDC的值;
(3)點P是拋物線頂點,線段DE是直徑,直線PC與直線DE相交于點F,
∠PFD的平分線FG交DC于G,求sin∠CGF的值.

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如圖,已知點B(-2,0)C(-4,0),過點B,C的⊙M與直線x=-1相切于點精英家教網(wǎng)A(A在第二象限),點A關(guān)于x軸的對稱點是A1,直線AA1與x軸相交點P
(1)求證:點A1在直線MB上;
(2)求以M為頂點且過A1的拋物線的解析式;
(3)設(shè)過點A1且平行于x軸的直線與(2)中的拋物線的另一交點為D,當⊙D與⊙M相切時,求⊙D的半徑和切點坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸的一個相交點坐標為A(1,0),與y軸上的交點坐標C(0,3).
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求與x軸的另一交點坐標B;
(3)若點D(
72
,m)是拋物線y=x2+bx+c上的一點,請求出m的值,并求出此時△ABD的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•相城區(qū)一模)如圖,拋物線y=
1
4
x2+bx+c的頂點為M,對稱軸是直線x=1,與x軸的交點為A(-3,0)和B.將拋物線y=
1
4
x2+bx+c繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點M1,A1為點M,A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點,旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C,D兩點.
(1)寫出點B的坐標及求拋物線y=
1
4
x2+bx+c的解析式;
(2)求證:A,M,A1三點在同一直線上;
(3)設(shè)點P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM1之間的一動點,是否存在一點P,使四邊形PM1MD的面積最大?如果存在,請求出點P的坐標及四邊形PM1MD的面積;如果不存在,請說明理由.

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如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A(-3,0)、B(1,0)兩點,與y軸相交點C(0,
3
).
(1)求該二次函數(shù)解析式;
(2)連接AC、BC,點M、N分別是線段AB、BC上的動點,且始終滿足BM=BN,連接MN.
①將△BMN沿MN翻折,B點能恰好落在AC邊上的P處嗎?若能,請判斷四邊形BMPN的形狀并求出PN的長;若不能,請說明理由.   
②將△BMN沿MN翻折,B點能恰好落在此拋物線上嗎?若能,請直接寫出此時B點關(guān)于MN的對稱點Q的坐標;若不能,請說明理由.

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