Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交的于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與C，B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；（2）①m=2；②S=（0＜m＜3），則當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值．

【解析】

試題分析：（1）對(duì)于拋物線，令x=0，得到y(tǒng)=3；

令y=0，得到，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=﹣1或x=3，則A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3），令中x=1，得到y(tǒng)=4，∴D（1，4），當(dāng)x=m時(shí)，，∴F（m，），∴線段DE=4﹣2=2，∵0＜m＜3，∴yF＞yP，∴線段PF=﹣（﹣m+3）=．連接DF，由PF∥DE，得到當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，由，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），則當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；

②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB，∴S=×3（），即S=（0＜m＜3），則當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值．