【題目】定義:數(shù)學(xué)活動課上,樂老師給出如下定義:有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形.
理解:
(1)如圖1,已知A、B、C在格點(小正方形的頂點)上,請在方格圖中畫出以格點為頂點,AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD;

(2)如圖2,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB是⊙O的直徑,AC=BD.求證:四邊形ABCD是對等四邊形;

(3)如圖3,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,BC=11,tan∠PBC= ,點A在BP邊上,且AB=13.用圓規(guī)在PC上找到符合條件的點D,使四邊形ABCD為對等四邊形,并求出CD的長.

【答案】
(1)解:如圖1所示(畫2個即可).


(2)解:如圖2,連接AC,BD,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=∠ACB=90°,

在Rt△ADB和Rt△ACB中,

∴Rt△ADB≌Rt△ACB,

∴AD=BC,

又∵AB是⊙O的直徑,

∴AB≠CD,

∴四邊形ABCD是對等四邊形.


(3)解:如圖3,點D的位置如圖所示:

①若CD=AB,此時點D在D1的位置,CD1=AB=13;

②若AD=BC=11,此時點D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11,

過點A分別作AE⊥BC,AF⊥PC,垂足為E,F(xiàn),

設(shè)BE=x,

∵tan∠PBC= ,

∴AE= x,

在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,

即x2+( x)2=132

解得:x1=5,x2-5(舍去),

∴BE=5,AE=12,

∴CE=BC-BE=6,

由四邊形AECF為矩形,可得AF=CE=6,CF=AE=12,

在Rt△AFD2中,F(xiàn)D2= ,

∴CD2=CF-FD2=12- ,CD3=CF+FD2=12+

綜上所述,CD的長度為13、12- 或12+


【解析】(1)根據(jù)題意畫出兩個等腰梯形即可;(2)由AB是⊙O的直徑,得到Rt△ADB≌Rt△ACB,得到AD=BC,由AB≠CD,得到四邊形ABCD是對等四邊形(3)①若CD=AB,此時點D在D1的位置,CD1=AB=13;②若AD=BC=11,此時點D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11,由tan∠PBC的值,得到AE的代數(shù)式,根據(jù)勾股定理求出CE=BC-BE的值,在Rt△AFD2中,根據(jù)勾股定理求出CD2=CF-FD2、CD3=CF+FD2的值,得到CD的長度.
【考點精析】掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的根本,需要知道把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形;銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

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A.1B.2C.3D.4

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2SABC=    ;

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2)探究2:如果折成圖②的形狀,猜想∠1+∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系是 ;

3)探究3:如果折成圖③的形狀,猜想∠1、∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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