Question

（1）如圖1，點P是正方形ABCD內的一點，把△ABP繞點B順時針方向旋轉，使點A與點C重合，點P的對應點是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度數(shù)．

（2）點P是等邊三角形ABC內的一點，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度數(shù)．

Answer 1

              解：（1）連接PQ．

由旋轉可知：，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，

∴△ABP繞點B順時針方向旋轉了90°，才使點A與C重合，

即∠PBQ=90°，

∴∠PQB=45°，PQ=4．

則在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，

∴PC²=PQ²+QC²．

即∠PQC=90°．

故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）將此時點P的對應點是點P′．

由旋轉知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．

又∵△ABC是正三角形，

∴△ABP繞點B順時針方向旋轉60°，才使點A與C重合，

得∠PBP′=60°，

又∵P′B=PB=5，

∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．

因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，

∴PC²=PP′²+P′C²．

即∠PP′C=90°．

故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．