已知:如圖,拋物線交x軸正半軸于A、B兩點,交y軸于C點,過A、B、C三點作⊙D.若⊙D與y軸相切.
(1)求c的值;
(2)連接AC、BC,設∠ACB=α,求tanα;
(3)設拋物線頂點為P,判斷直線PA與⊙D的位置關系,并證明.

【答案】分析:(1)根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知:圓心D必在拋物線的對稱軸上,因此D的橫坐標與拋物線的對稱軸的值相同,可根據(jù)拋物線的解析式求出對稱軸的值即可得出D點的橫坐標,由于圓D和y軸相切,因此D的橫坐標就是圓的半徑.先根據(jù)拋物線的解析式,用c表示出A、B的坐標,即可表示AB的長,然后在直角三角形AED中,AE=AB,DE=OC=c,已經(jīng)求得了圓的半徑根據(jù)勾股定理即可得出c的值,進而可求出拋物線的解析式.
(2)由于∠ACB不在直角三角形中,因此無法直接求出其正切值,可通過構(gòu)建直角三角形來求解.延長AD交圓與F,連接BF,那么∠ABF=90°,根據(jù)圓周角定理可知:∠F=∠ACB=α,因此在直角三角形ABF中,求∠F的正切值即可.
(3)連接PA,證∠PAD是否等于90°即可,根據(jù)拋物線的解析式可得出A、B、P的坐標,然后根據(jù)坐標系中兩點間的距離公式求出DA2、AP2、DP2的長,看DA2+AP2是否與DP2相等即可.
解答:解:(1)連接DC,作AB的垂直平分線MN,交AB于E,連接DA.
∵⊙D經(jīng)過點C且與y軸相切
∴⊙D與y軸相切于點C
∴DC⊥y軸
∵⊙D和拋物線都經(jīng)過點A、B
∴MN經(jīng)過點D、P
∴MN是拋物線的對稱軸
由y=x2-3x+c知:
對稱軸是x=3;令x=0得y=c.
∴點C坐標為(0,c),點D坐標為(3,c),
⊙D的半徑為3
由y=x2-3x+c知,
令y=0得x2-3x+c=0
解得:x1=3+,x2=3-
∴點A坐標為(3-,0),
點B坐標為(3+,0)
∴AE=(OB-OA)=[(3+)-(3-)]=
在Rt△ADE中,AE2+DE2=DA2,即:(2+c2=9
∴c2-2c=0解得:c=0(不符題意舍)或c=2.
∴c=2.

(2)延長AD交圓于點F,連接BF.
∵AF是⊙D的直徑
∴∠ABF=90°
∵在Rt△ABF中,AB=2AE=2,AF=6,
∴BE===4.
∴tan∠F===
∵∠ACB與∠F都是弧AB所對的圓周角,
∴∠ACB=∠F.
∴tan∠ACB=tan∠F=tanα=

(3)判斷:直線PA與⊙D相切.
連接PA.
由(1)知c=2,于是D(3,2),AE==
易知:頂點P坐標為(3,
在Rt△ADE中,PA2=AE2+PE2=5+=
又:PD2=(DE+EP)2=(2+2=;DA2=32=9
因為9+=
所以,在△DAP中,DA2+PA2=PD2
所以,△DAP為直角三角形,∠DAP=90°,點A在圓上
所以,PA與⊙D相切.
點評:本題為二次函數(shù)綜合題,綜合考查了圓的相關知識和二次函數(shù)的應用.難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知,如圖,拋物線y=
12
x2+bx+3與x軸的正半軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),且與y軸交于精英家教網(wǎng)點C,O為坐標原點,OB=4.
(1)直接寫出點B,C的坐標及b的值;
(2)過射線CB上一點N,作MN∥OC分別交拋物線、x軸于M、T兩點,設點N的橫坐標為t.
①當0<t<4時,求線段MN的最大值;
②以點N為圓心,NM為半徑作⊙N,當點B恰好在⊙N上時,求此時點M的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知:如圖,拋物線數(shù)學公式交x軸正半軸于A、B兩點,交y軸于C點,過A、B、C三點作⊙D.若⊙D與y軸相切.
(1)求c的值;
(2)連接AC、BC,設∠ACB=α,求tanα;
(3)設拋物線頂點為P,判斷直線PA與⊙D的位置關系,并證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2008-2009學年北京市東城區(qū)九年級(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知:如圖,拋物線交x軸正半軸于A、B兩點,交y軸于C點,過A、B、C三點作⊙D.若⊙D與y軸相切.
(1)求c的值;
(2)連接AC、BC,設∠ACB=α,求tanα;
(3)設拋物線頂點為P,判斷直線PA與⊙D的位置關系,并證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2008-2009學年北京市東城區(qū)九年級(上)期末數(shù)學試卷2(解析版) 題型:解答題

已知:如圖,拋物線交x軸正半軸于A、B兩點,交y軸于C點,過A、B、C三點作⊙D.若⊙D與y軸相切.
(1)求c的值;
(2)連接AC、BC,設∠ACB=α,求tanα;
(3)設拋物線頂點為P,判斷直線PA與⊙D的位置關系,并證明.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案