【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A的坐標為(5,0),菱形OABC的頂點B,C在第一象限,tanAOC=,將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<AOC)得到菱形FADE(點O的對應點為點F),EF與OC交于點G,連結(jié)AG。

(1)求點B的坐標;

(2)當OG=4時,求AG的長;

(3)求證:GA平分OGE;

(4)連結(jié)BD并延長交軸于點P,當點P的坐標為(12,0)時,求點G的坐標。

【答案】(1)(8,4);(2);(3)().

【解析】

試題分析:(1)如圖1,過點B作BHx軸于點H,由已知可得BAH=COA,在RtABH中,tanBAH=tanAOC=,AB=5,可求得BH=4,AH=3,所以OH=8,即可得點B的坐標為(8,4);(2)如圖1,過點A作AMOC于點M,在RtAOM中,tanAOC=,OA=5,可求得AM=4,OA=3,所以GM=1,再由勾股定理即可求得AG=;(3)如圖1,過點A作ANEF軸于點N,易證AOM≌△AFN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=AN,再由角平分線的判定可得GA平分OGE;(4)如圖2,過點G作GQx軸于點Q,先證GOA∽△BAP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GQ=,再由銳角三角函數(shù)求得OQ=,即可得點G的坐標為).

試題解析:

(1)如圖1,過點B作BHx軸于點H,

四邊形OABC為菱形,OCAB,

∴∠BAH=COA.

tanAOC=,

tanBAH=

在直角BAH中,AB=5,

BH=3AB=4,AH=AB=3,

OH=OA+AH=5+3=8,

點B的坐標為(8,4);

(2)如圖1,過點A作AMOC于點M,

在直角AOM中,tanAOC=,OA=5,

AM=OA=4,OM=OA=3,

OG=4,

GM=OG-OM=4-3=1,

AG=;

(3)如圖1,過點A作ANEF于點N,

AOM與AFN中,

AOM=F,OA=FA,AMO=ANF=90°

∴△AOM≌△AFN(ASA),

AM=AN,

GA平分OGE.

(4)如圖2,過點G作GQx軸于點Q,

由旋轉(zhuǎn)可知:OAF=BAD=α

AB=AD,

∴∠ABP=,

∵∠AOT=F,OTA=GTF,

∴∠OGA=EGA=1,

∴∠OGA=ABP,

∵∠GOA=BAP,

∴△GOA∽△BAP,

,

GQ=×4=

tanAOC=

OQ=×=,

G(,).

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(2)猜想:_____=_____;

(3)證明:

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A方案:月租7元,可上網(wǎng)25小時,若超時,超出部分按每分鐘0.01元收費;

B方案:月租10元,可上網(wǎng)50小時,若超時,超出部分按每分鐘0.01元收費;

設每月上網(wǎng)學習時間為小時.

1)當50時,用含有x的代數(shù)式分別表示A、B兩種上網(wǎng)的費用;

2)當x100時,分別求出兩種上網(wǎng)學習的費用.

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