(2008•佛山)我們所學(xué)的幾何知識可以理解為對“構(gòu)圖”的研究:根據(jù)給定的(或構(gòu)造的)幾何圖形提出相關(guān)的概念和問題(或者根據(jù)問題構(gòu)造圖形),并加以研究.
例如:在平面上根據(jù)兩條直線的各種構(gòu)圖,可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念;若增加第三條直線,則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質(zhì)”等問題(包括研究的思想和方法).
請你用上面的思想和方法對下面關(guān)于圓的問題進(jìn)行研究:
(1)如圖1,在圓O所在平面上,放置一條直線m(m和圓O分別交于點(diǎn)A、B),根據(jù)這個圖形可以提出的概念或問題有哪些?(直接寫出兩個即可)
(2)如圖2,在圓O所在平面上,請你放置與圓O都相交且不同時經(jīng)過圓心的兩條直線m和n(m與圓O分別交于點(diǎn)A、B,n與圓O分別交于點(diǎn)C、D).請你根據(jù)所構(gòu)造的圖形提出一個結(jié)論,并證明之;
(3)如圖3,其中AB是圓O的直徑,AC是弦,D是的中點(diǎn),弦DE⊥AB于點(diǎn)F.請找出點(diǎn)C和點(diǎn)E重合的條件,并說明理由.

【答案】分析:(1)本題AB⊥DE,滿足垂徑定理,可以寫出垂徑定理的結(jié)論;
(2)根據(jù)三角形相似就可以證出;
(3)若點(diǎn)C和點(diǎn)E重合,設(shè)∠BAC=x,又D是的中點(diǎn),根據(jù)2∠CAD=∠CAD+ACD=180°-∠ABC,就可以求出∠BAC的度數(shù).
解答:解:(1)弦(圖中線段AB)、。▓D中的ACB弧)、弓形、求弓形的面積(因?yàn)槭欠忾]圖形)等.
(寫對一個給(1分),寫對兩個給2分)

(2)如圖,AB為弦,CD為弦,且AB與CD在圓內(nèi)相交于點(diǎn)P.
結(jié)論:PA•PB=PC•PD.
證明:連接AD,BC,
∵∠APD=∠BPC,∠D=∠B
∴△APD∽△BPC
∴PA•PB=PC•PD;

(3)若點(diǎn)C和點(diǎn)E重合,
則由圓的對稱性,知點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于直徑AB對稱,(8分)
設(shè)∠BAC=x,則∠BAD=x,∠ABC=90°-x,(9分)
又D是的中點(diǎn),所以2∠CAD=∠CAD+∠ACD=180°-∠ABC,
即2•2x=180°-(90°-x),(10分)
解得x=∠BAC=30°.(11分)
(若求得AB=或AF=3•FB等也可,評分可參照上面的標(biāo)準(zhǔn);也可以先直覺猜測點(diǎn)B、C是圓的十二等分點(diǎn),然后說明.)
點(diǎn)評:本題主要考查了垂徑定理以及相交弦定理的證明過程,正確理解題意,讀懂圖意是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知平行四邊形ABCD,∠A=60°,AB=2a,AD=a.
(1)把所給的平行四邊形ABCD用兩種方式分割并作說明(見題答卡表格里的示例);要求:用直線段分割,分割成的圖形是學(xué)習(xí)過的特殊圖形且不超出四個.
分割圖形       分割或圖形說明
示例:
示例:
①分割成兩個菱形.
②兩個菱形的邊長都為a,銳角都為60°.
(2)圖中關(guān)于邊、角和對角線會有若干關(guān)系或問題.現(xiàn)在請計(jì)算兩條對角線的長度.要求:計(jì)算對角線BD長的過程中要有必要的論證;直接寫出對角線AC的長.

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(1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎?試試看;
(3)開動腦筋想一想,相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式.

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