【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知A(﹣1,0).

(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.

【答案】
(1)

解:∵點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,

∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,

∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,

令x=0,得y=3,∴C(0,3);

令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0).


(2)

解:△CDB為直角三角形.理由如下:

由拋物線解析式,得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).

如答圖1所示,

過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.

過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N,則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.

在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC= ;

在Rt△CND中,由勾股定理得:CD= ;

在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD=

∵BC2+CD2=BD2,

∴△CDB為直角三角形(勾股定理的逆定理).


(3)

解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,∵B(3,0),C(0,3),

,

解得k=﹣1,b=3,

∴y=﹣x+3,

直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到,

∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,∵B(3,0),D(1,4),

,

解得:m=﹣2,n=6,

∴y=﹣2x+6.

連接CQ并延長(zhǎng),射線CQ交BD于點(diǎn)G,則G( ,3).

在△COB向右平移的過程中:

(I) 當(dāng)0<t≤ 時(shí),如答圖2所示:

設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.

設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F,則: ,解得 ,∴F(3﹣t,2t).

S=SQPE﹣SPBK﹣SFBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ (3﹣t)2 t2t= t2+3t;

(II) 當(dāng) <t<3時(shí),如答圖3所示:

設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J.

∵CQ=t,

∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.

直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t,

∴J(t,6﹣2t).

S=SPBJ﹣SPBK= PBPJ﹣ PBPK= (3﹣t)(6﹣2t)﹣ (3﹣t)2= t2﹣3t+

綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:

S=


【解析】(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo);(2)分別求出△CDB三邊的長(zhǎng)度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形;(3)△COB沿x軸向右平移過程中,分兩個(gè)階段:
(I)當(dāng)0<t≤ 時(shí),如答圖2所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形;
(II)當(dāng) <t<3時(shí),如答圖3所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C.
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組別

海選成績(jī)x

A組

50≤x<60

B組

60≤x<70

C組

70≤x<80

D組

80≤x<90

E組

90≤x<100

請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)請(qǐng)把圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;(溫馨提示:請(qǐng)畫在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上)
(2)在圖2的扇形統(tǒng)計(jì)圖中,記表示B組人數(shù)所占的百分比為a%,則a的值為 , 表示C組扇形的圓心角θ的度數(shù)為度;
(3)規(guī)定海選成績(jī)?cè)?0分以上(包括90分)記為“優(yōu)等”,請(qǐng)估計(jì)該校參加這次海選比賽的2000名學(xué)生中成績(jī)“優(yōu)等”的有多少人?

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小兵的證明思路是:如圖2,連接AP,由ABP與ACP面積之和等于ABC的面積可以證得:PD+PE=CF.

小鵬的證明思路是:如圖2,過點(diǎn)P作PGCF,垂足為G,先證△GPC≌△ECP,可得:PE=CG,而PD=GF,則PD+PE=CF.

請(qǐng)運(yùn)用上述中所證明的結(jié)論和證明思路完成下列兩題:

(1)如圖3,將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處,點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn),過點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分別為G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值;

(2)如圖4,P是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn),且PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求PD+PE+PF的值.

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