閱讀下列材料:若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根分別為x1、x2,則x1+x2=-
b
a
x1x2=
c
a

解決下面問題:已知關于x的一元二次方程(2x+n)2=4x有兩個非零不等實數(shù)根x1、x2,設m=
1
x1
+
1
x2

(1)求n的取值范圍;
(2)試用關于n的代數(shù)式表示出m;
(3)是否存在這樣的n值,使m的值等于1?若存在,求出這樣的所有n的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由關于x的一元二次方程(2x+n)2=4x有兩個非零不等實數(shù)根,即可得△=[4(n-1)]2-4×4n2>0且n2≠0,繼而求得n的取值范圍;
(2)由x1,x2是關于x的一元二次方程4x2+4(n-1)x+n2=0的兩個實數(shù)根,根據(jù)根與系數(shù)的關系可得:x1+x2=-
4(n-1)
4
=1-n,x1•x2=
n2
4
,又由m=
1
x1
+
1
x2
,即可求得答案;
(3)當m=1時,即
4(1-n)
n2
=1,解此方程即可求得n的值,又由(1)中n的取值范圍是n<
1
2
,且n≠0,即可求得n的值.
解答:解:(1)將方程整理得:4x2+4(n-1)x+n2=0,
∵方程有兩個非零不等實數(shù)根,
∴△=[4(n-1)]2-4×4n2>0且n2≠0,
解得n<
1
2
,且n≠0
∴n的取值范圍是n<
1
2
,且n≠0;

(2)∵x1,x2是關于x的一元二次方程4x2+4(n-1)x+n2=0的兩個實數(shù)根,
∴x1+x2=-
4(n-1)
4
=1-n,x1•x2=
n2
4

∴m=
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
1-n
n2
4
=
4(1-n)
n2
;

(3)存在.
理由:當m=1時,即
4(1-n)
n2
=1,
整理得:n2+4n-4=0,
解得:n=-2±2
2
,
∵n<
1
2
,
∴n=-2+2
2
不符合題意,舍去;
∴使m=1的值存在,此時n=-2-2
2
點評:此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、根的判別式的應用以及一元二次方程的解法.此題難度適中,注意掌握如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根,那么有x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
的應用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀下列材料:若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a

解決下列問題:
已知:a,b,c均為非零實數(shù),且a>b>c,關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根,其中一根為2.
(1)填空:4a+2b+c
 
0,a
 
0,c
 
0;(填“>”,“<”或“=”)
(2)利用閱讀材料中的結論直接寫出方程ax2+bx+c=0的另一個實數(shù)根(用含a,c的代數(shù)式表示);
(3)若實數(shù)m使代數(shù)式am2+bm+c的值小于0,問:當x=m+5時,代數(shù)式ax2+bx+c的值是否為正數(shù)?寫出你的結論并說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀下列材料:
若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則x1+x2=-
b
a
x1x2=
c
a

解決下列問題:
已知:a,b,c均為非零實數(shù),且a>b>c,關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根,其中一根為2.
(1)填空:4a+2b+c
=
=
0,a
0,c
0;(填“>”,“<”或“=”)
(2)利用閱讀材料中的結論直接寫出方程ax2+bx+c=0的另一個實數(shù)根(用含a,c的代數(shù)式表示).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

(本題8分)閱讀下列材料:若關于的一元二次方程 的兩個實數(shù)根分別為,則,
解決下面問題:已知關于x的一元二次方程有兩個非零不等實數(shù)根、,設.
【小題1】(1) 求的取值范圍;
【小題2】(2) 試用關于的代數(shù)式表示出;
【小題3】(3) 是否存在這樣的值,使的值等于1?若存在,求出這樣的所有的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2011年北京市西城區(qū)中考數(shù)學二模試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀下列材料:若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則,
解決下列問題:
已知:a,b,c均為非零實數(shù),且a>b>c,關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根,其中一根為2.
(1)填空:4a+2b+c______0,a______0,c______0;(填“>”,“<”或“=”)
(2)利用閱讀材料中的結論直接寫出方程ax2+bx+c=0的另一個實數(shù)根(用含a,c的代數(shù)式表示);
(3)若實數(shù)m使代數(shù)式am2+bm+c的值小于0,問:當x=m+5時,代數(shù)式ax2+bx+c的值是否為正數(shù)?寫出你的結論并說明理由.

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