【題目】如圖,在⊙O中,半徑OA垂直于弦BC,垂足為E,點D在CA的延長線上,若∠DAB+
∠AOB=60°
(1)求∠AOB的度數(shù);
(2)若AE=1,求BC的長.
【答案】
(1)解:連接OC,
∵OA⊥BC,OC=OB,
∴∠AOC=∠AOB,∠ACO=∠ABO,
∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB,∠ACO=∠OAB,
∴∠DAB=∠AOC,
∴∠DAB=∠AOB,又∠DAB+∠AOB=60°,
∴∠AOB=30°;
(2)解:∵∠AOB=30°,
∴BE= OB,
設(shè)⊙O的半徑為r,則BE= r,OE=r﹣1,
由勾股定理得,r2=( r)2+(r﹣1)2,
解得r=4 ,
∵OB=OC,∠BOC=2∠AOB=60°,
∴BC=r=4 .
【解析】(1)連接OC,根據(jù)垂徑定理和三角形的外角的性質(zhì)證明∠DAB=∠AOB,求出∠AOB的度數(shù);(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE= OB,設(shè)⊙O的半徑為r,根據(jù)勾股定理求出r,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到答案.
【考點精析】掌握勾股定理的概念和圓周角定理是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為邊AB中點,點E、F分別在射線CA、BC上,且AE=CF,連結(jié)EF.
猜想:如圖①,當(dāng)點E、F分別在邊CA和BC上時,線段DE與DF的大小關(guān)系為________.
探究:如圖②,當(dāng)點E、F分別在邊CA、BC的延長線上時,判斷線段DE與DF的大小關(guān)系,并加以證明.
應(yīng)用:如圖②,若DE=4,利用探究得到的結(jié)論,求△DEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【背景】國家為扶持軟件企業(yè)的發(fā)展,對企業(yè)實行月補貼,以提高企業(yè)的凈利潤.
【問題】國內(nèi)某軟件企業(yè)2014 年12月份并未如期收到700萬元的月補貼,這樣導(dǎo)致2014 年的凈利潤增長只有55%.而若補貼及時到位,則2014 年的凈利潤增長將達(dá)到60%.
(1)求2013年該企業(yè)凈利潤是多少萬元?
(2)又據(jù)統(tǒng)計,2014年12月該企業(yè)不含月補貼的月凈利潤為2100萬元,2015年1月及2月不含月補貼的月凈利潤比上月增加的百分?jǐn)?shù)分別是m和 2m,這兩個月的月補貼相等,且都在2014年12月基礎(chǔ)上增加了2m.據(jù)推算,若以后各月不含月補貼的月凈利潤和月補貼均穩(wěn)定在2月份的水平不變,則 2015年該企業(yè)凈利潤將達(dá)到2013年的3倍,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=45,∠AOB內(nèi)有一定點P,且OP=10.在OA上有一動點Q,OB上有一動點R.若ΔPQR周長最小,則最小周長是()
A. 10 B. C. 20 D.
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【題目】如圖,已知Rt△OBA,∠ABO=30°,OA=2,兩條直角邊重疊在互相的垂直的兩條直線上,線段PQ的端點P從點O出發(fā),沿△OBA的邊按O→B→A→O運動一周,同時另一端點Q隨之在直線AO上運動,如果PQ=,那么當(dāng)點P運動一周時,點Q運動的總路程為____________.
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【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點E.
(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;
(2)點M是線段CD上的一點(不與點C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長線于點G.求證:AD=DG+MD;
(3)點N是線段AD上的一點,以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長線于點G.請在圖3中畫出圖形,并直接寫出ND,DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系.
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為3,F(xiàn)為BC邊上的動點,F(xiàn)D⊥AB于D,F(xiàn)E⊥AC于E,則DE的長為( )
A.隨F點運動,其值不變
B.隨F點運動而變化,最大值為
C.隨F點運動而變化,最小值為
D.隨F點運動而變化,最小值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=ADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系。
(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是:延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,他的結(jié)論應(yīng)是____________。
象上面這樣有公共頂點,銳角等于較大角的一半,且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型。
(2)拓展 如圖②,若在四邊形ABCD中,,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD,則BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是________________。
請證明你的結(jié)論。
(3)實際應(yīng)用 如圖③,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西35°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東75°的B處,,且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進(jìn),1.2小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F(xiàn)處,且兩艦艇之間的夾角為65°,試求此時兩艦艇之間的距離是_____________海里 (直接寫出答案)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,點D為AC上一點,且AD=BD=BC,則等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為__________________.
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