Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，

（1）若將△DAP沿DP折疊，點(diǎn)A落在矩形的對(duì)角線上點(diǎn)A處，試求AP的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，過點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E，將△DAP與△PBE分別沿DP與PE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A，B處，若P，A，B三點(diǎn)恰好在同一直線上，且AB=2，試求此時(shí)AP的長(zhǎng)．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)處時(shí)，過點(diǎn)P作直線PG交BC于點(diǎn)G，將△DAP與△PBG分別沿DP與PG折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合于點(diǎn)F處，請(qǐng)直接寫出F到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）1或3；（3）

【解析】

（1）分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上時(shí)，設(shè)，則，利用勾股定理進(jìn)行求解；②當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；

（2）設(shè)，則，分兩種情形分別構(gòu)建方程進(jìn)行求解；

（3）作FH⊥CD于H，作FI⊥BC于I，設(shè)BG＝FG＝x，在Rt△GCD中運(yùn)用勾股定理得出x的值，根據(jù)FH∥CG求出FH的長(zhǎng)，即可得出GI的長(zhǎng)，最后在Rt△FGI中運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解．

解：（1）①當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上時(shí)，如圖1，

，，

，

由折疊性質(zhì)，，，，

，

設(shè)，則，

，

，

解得，，

；

②當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上時(shí)，如圖2，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，

，

，

，

長(zhǎng)為或；

（2）①如圖3，設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：

，，

，

，

即，

②如圖4，設(shè)，則，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知：，，

，

，

即，

長(zhǎng)為1或3；

（3）如圖5，作FH⊥CD于H，作FI⊥BC于I，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知：AD＝DF＝3，BG＝GF，G、F、D三點(diǎn)共線，設(shè)BG＝FG＝x，

在Rt△GCD中，，

解得，，

∴DG＝DF+FG＝，CG＝BC﹣BG＝，

∵FH∥CG，

∴，

∴，

∵易知四邊形FICH為矩形，

∴FH＝IC，

∴，

∴在Rt△FGI中，，

∴F到BC的距離為．