Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)。

 （1）試用含a的代數(shù)式表示b；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長(zhǎng)及拋物線的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)B是滿(mǎn)足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）解法一：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A

    ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）

    ∵拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)

          

 解法二：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A

    ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）

    ∵拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)

    ∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線

           

（2）解：由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，DO＝DA

    ∴點(diǎn)O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO

    又由（1）知拋物線的解析式為

    ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

    ①當(dāng)時(shí)，

    如圖1，設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與⊙D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)它的圓心為D'

    ∴點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

    ∵點(diǎn)O在⊙D'上，且⊙D與⊙D'相切

    ∴點(diǎn)O為切點(diǎn)        ∴D'O⊥OD

    ∴∠DOA＝∠D'OA＝45°

∴△ADO為等腰直角三角形      

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-2

 

    ∴拋物線的解析式為

    ②當(dāng)時(shí)，

    同理可得：

    拋物線的解析式為

    綜上，⊙D半徑的長(zhǎng)為，拋物線的解析式為或

（3）解答：拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn)P，使得

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且y＞0

①     當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖2）

    ∵點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)

          

    過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E

   

    由解得：（舍去）

    ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

    ②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖3）

    同理可得，

    由解得：（舍去）

    ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

    綜上，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

    或