Question

如圓，AB是⊙O的直徑，直線PQ過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，PQ是⊙O的切線．
（1）求證：∠BCP=∠A；
（2）如果AB是⊙O的弦（不是直徑），這個(gè)結(jié)論還成立嗎？試說(shuō)明．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，滿足切線的性質(zhì)定理．再根據(jù)直徑所對(duì)的邊是直角就可以證出結(jié)論．
（2）這個(gè)結(jié)論還成立；過(guò)C點(diǎn)作直徑CD，連接BD，則∠A=∠D，再由PQ是⊙O的切線∠DCB+∠BCP=90°，∠BCP=∠A．
解答：（1）證明：連接OC   （1分）
PQ是⊙O的切線
∴OC⊥PQ
∴∠OCB+∠BCP=90°（2分）
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB    （3分）
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠OBC+∠A=90°
∴∠BCD=∠A    （4分）

（2）解：如果AB是⊙O的弦（不是直徑），這個(gè)結(jié)論還成立（5分）
理由為：過(guò)C點(diǎn)作直徑CD，連接BD，則∠A=∠D，∠DBC=90°
∴∠D+∠DCB=90°（6分）
∵PQ是⊙O的切線
∴OC⊥PQ
∴∠DCB+∠BCP=90°（7分）
∴∠BCP=∠D
∴∠BCP=∠A    （8分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，以及圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角．