Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．

（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；

①求此拋物線的表達式與點D的坐標；

②若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；

（2）如圖2，若a=1，求證：無論b，c取何值，點D均為定點，求出該定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）①，D（0，4）；②36；（2）證明見解析，（0，1）．

【解析】試題分析：（1）①利用待定系數法求拋物線的解析式；利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由圓周角定理得AB為圓的直徑，再由垂徑定理知點C、D關于AB對稱，由此得出點D的坐標.

②求出△BDM面積的表達式，再利用二次函數的性質求出最值.

（2）根據拋物線與x軸的交點坐標、根與系數的關系、相似三角形求解．

試題解析：解：（1）①∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣2，0），B（8，0），

∴可設拋物線解析式為.

∵拋物線y=ax2+bx+c過點C（0，﹣4），

∴，解得.

∴拋物線的解析式為： ，即.

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答圖1，連接AC、BC．

由勾股定理得：AC=，BC=．

∵AC2+BC2=AB2=100，

∴∠ACB=90°.∴AB為圓的直徑．

由垂徑定理可知，點C、D關于直徑AB對稱，∴D（0，4）．

②設直線BD的解析式為y=kx+b，

∵B（8，0），D（0，4），∴，解得.∴直線BD解析式為： ．

設M（x， ），

如答圖2，過點M作ME∥y軸，交BD于點E，則E（x， ）．

∴ME=．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xD）=ME（xB﹣xD）=4ME.

∴S△BDM=

∴當x=2時，△BDM的面積有最大值為36.

（2）證明：如答圖3，連接AD、BC．

由圓周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB.∴.

設A（x1，0），B（x2，0），

∵已知拋物線y=x2+bx+c（c＜0），∴OC=﹣c，x1x2=c.

∴.∴.

∴無論b，c取何值，點D均為定點，該定點坐標D（0，1）．