Question

（2009•莆田）已知，如圖1，過(guò)點(diǎn)E（0，-1）作平行于x軸的直線(xiàn)l，拋物線(xiàn)y=x²上的兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1和4，直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)C、D，連接CF、DF．
（1）求點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)；
（2）求證：CF⊥DF；
（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y=x²對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PO交x軸于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使得△OPQ與△CDF相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）有兩種方法，方法一是傳統(tǒng)的點(diǎn)的待定系數(shù)法，方法二，通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造△BGF∽△BHA由比例關(guān)系求出F點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）也有兩種方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF邊長(zhǎng)利用勾股定理證明CF⊥DF；方法二利用幾何關(guān)系求出∠CFD=90°；
（3）求存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，看是否找到符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題分兩種情況；（1）Rt△QPO∽R(shí)t△CFD；（2）Rt△OPQ∽R(shí)t△CFD，根據(jù)比例求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：
（1）方法一：如圖1，當(dāng)x=-1時(shí)，y=；當(dāng)x=4時(shí)，y=4
∴A（-1，）（1分）
B（4，4）（2分）
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b（3分）
則
解得
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=x+1（4分）
當(dāng)x=0時(shí)，y=1∴F（0，1）（5分）
方法二：求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)同方法一，如圖2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分別為G、H，交y軸于點(diǎn)N，則四邊FOMG和四邊形NOMH均為矩形，設(shè)FO=x（3分）
∵△BGF∽△BHA
∴
∴（4分）
解得x=1
∴F（0，1）（5分）

（2）證明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根據(jù)勾股定理得：CF²=CE²+EF²=1²+2²=5，
∴CF=（6分）
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF²=DE²+EF²=4²+2²=20
∴DF=2
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD²=5²=25
∴CF²+DF²=CD²（7分）
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF（8分）
方法二：由（1）知AF=，AC=
∴AF=AC（6分）
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO（7分）
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF（8分）

（3）存在．
解：如圖3，作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M（9分）
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽R(shí)t△OQP
∴∴（10分）
設(shè)P（x，x²）（x＞0），
則PM=x²，OM=x
①當(dāng)Rt△QPO∽R(shí)t△CFD時(shí)，（11分）
∴
解得x=2∴P₁（2，1）（12分）
②當(dāng)Rt△OPQ∽R(shí)t△CFD時(shí)，=2（13分）
∴=2
解得x=8
∴P₂（8，16）
綜上，存在點(diǎn)P₁（2，1）、P₂（8，16）使得△OPQ與△CDF相似．（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性較強(qiáng)的題，前兩問(wèn)方法多，有普通的方法和新穎的方法，作合適的輔助線(xiàn)很重要，最后一問(wèn)是探究性問(wèn)題，發(fā)散思維．