Question

如圖1，在矩形紙片ABCD中，，其中m≥1，將該矩形沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD相交于點P，連接EP．設，其中0＜n≤1．
（1）如圖2，當（即M點與D點重合），時，則        ；
（2）如圖3，當（M為AD的中點），m的值發(fā)生變化時，求證：；
（3）如圖1，當，n的值發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3），不發(fā)生變化，理由見解析.

試題分析：（1）由條件可知，當n=1（即M點與D點重合），m=2時，AB=2AD，設AD=a，則AB=2a，由矩形的性質(zhì)可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結(jié)論.
（2）延長PM交EA延長線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.
（3）如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，通過證明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．
（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．
∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．
在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，
∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．
∵FN=FC，∴AE=FC．
∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE．
Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.
∴BE=2AD-AD=.
∴.
（2）如圖3，延長PM交EA延長線于G，∴∠GAM=90°．
∵M為AD的中點，∴AM=DM．
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.
∴∠GAM=∠PDM．
在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，
∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.
在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，
∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.
∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.

（3），值不變，理由如下：
如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，
∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.
∵四邊形FKBC是矩形，∴KF=BC，F(xiàn)C=KB.
∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.
∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.
∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.
∴即.
∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.
∴的值不變．