Question

【題目】如圖，，，點(diǎn)在邊上，．

（1）求證：；

（2）若，求的度數(shù)；

（3）若，當(dāng)的外心在直線上時(shí)，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）結(jié)合已知，要證明還少一個(gè)條件，可以在和中結(jié)合對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和得到，進(jìn)一步得到，即可證明.

（2）第（1）題已經(jīng)證明，再根據(jù)，得到，所以在等腰求即可.

（3）根據(jù)“直角圓周角所對(duì)的弦為直徑” 且的外心在直線上，則與的交點(diǎn)即為的外心，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到，故是等邊三角形，再用特殊角的三角函數(shù)求即可.

解：（1）∵和相交于點(diǎn)，

∴．

又∵在和中，，

∴．

又∵，

∴，

∴，即．

在和中，

，

∴．

（2）∵

∴

又∵

∴

∴

∴

（3）∵，且的外心在直線上

∴點(diǎn)是的外心（或是中點(diǎn)）

∴

又∵

∴是等邊三角形

∴

在中，

∴