【題目】如圖,在RtABC中,C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從點C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點AB移動,同時動點P從點B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,設(shè)移動時間為t(單位:秒,0t2.5).

1)當(dāng)t為何值時,以AP,M為頂點的三角形與ABC相似?

2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】1當(dāng)t=時,以AP、M為頂點的三角形與ABC相似;2當(dāng)t=時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是

【解析】

試題分析:根據(jù)勾股定理求得AB=5cm

1)分類討論:AMP∽△ABCAPM∽△ABC兩種情況.利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值;

2)如圖,過點PPHBC于點H,構(gòu)造平行線PHAC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值;然后根據(jù)“S=SABC﹣SBPH列出St的關(guān)系式S=t﹣2+0t2.5),則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值.

解:如圖,在RtABC中,C=90°AC=4cm,BC=3cm

根據(jù)勾股定理,得=5cm

1)以AP,M為頂點的三角形與ABC相似,分兩種情況:

當(dāng)AMP∽△ABC時,=,即=

解得t=;

當(dāng)APM∽△ABC時,=,即=

解得t=0(不合題意,舍去);

綜上所述,當(dāng)t=時,以AP、M為頂點的三角形與ABC相似;

2)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:

假設(shè)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.

如圖,過點PPHBC于點H.則PHAC,

=,即=,

PH=t,

S=SABC﹣SBPN,

=×3×4﹣×3﹣tt

=t﹣2+0t2.5).

0,

S有最小值.

當(dāng)t=時,S最小值=

答:當(dāng)t=時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是

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