Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）、點(diǎn)B（3，0）、點(diǎn)C（0，3）．

（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)AC、CD、BD，試比較∠BCA與∠BDC的大小，并說明理由；

（3）若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)N，則M、N、B、C四點(diǎn)是否能構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出所有適合的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1），D的坐標(biāo)為（1，4）．（2）∠BCA∠B DC，理由見解析，（3）（1，0）、（5，0）、（，0）、（，0）．

【解析】

試題分析：（1）分別把點(diǎn)A（－1，0）、點(diǎn)B（3，0）、點(diǎn)C（0，3）代入，求出a、b、c的值即可，再進(jìn)行配方求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）分別求出CD，BD，CB，AC的長度，即可得出△CDB∽△OAC，故∠BCA=∠BDC

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0）則N的坐標(biāo)分別是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）代入解析式t的值.

試題解析：（1）∵點(diǎn)A、B、C在拋物線上，

∴ 解得

∴此拋物線為：

由

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．

（2）連結(jié)BC，

由點(diǎn)C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）

可得CD=，BD=，CB=

由點(diǎn)C（0，3）、A（－1，0），可得AC=

由

∴ △CDB∽△OAC

∴∠BCA=∠BDC

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0）

則由C（0，3）、B（3，0）、M（t，0）可以得到

若能構(gòu)成平行四邊形時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)有三種可能，

分別是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）

∵點(diǎn)N在拋物線上

當(dāng)把（3－t，3）代入時(shí)，

可得t=1或t=3（點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，舍去）；

當(dāng)把（t－3，3）代入時(shí)，

可得t=5或t=3（點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，舍去）；

當(dāng)把（t＋3，－3）代入時(shí)，

可得t=或t=，

綜上可知，M的坐標(biāo)為（1，0）、（5，0）、（，0）、（，0）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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