Question

【題目】如圖，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，與直線AB交于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①當(dāng)矩形PQNM的周長最大時(shí)，求△ACM的面積；

②在①的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí)，G是直線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)P、C、G、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①，②F1（﹣1，4），F(xiàn)2（，），F(xiàn)3（，）．

【解析】分析：（1）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線y=﹣x2+bx+c求出b、c的值即可；

（2）①先用m表示出PM的長，再求出拋物線的對稱軸及PQ的長，利用矩形的面積公式可得出其周長的解析式，進(jìn)而可得出矩形面積的最大值，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

②根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)得出P點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出PC的長，再分點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方與點(diǎn)F在點(diǎn)G的下方兩種情況進(jìn)行討論即可．

詳解：（1）∵直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴A（﹣3，0），B（0，3）．

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

（2）①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM=﹣m2﹣2m+3．

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣=﹣=﹣1，∴PQ=2（﹣1﹣m）=﹣2m﹣2，∴矩形PQMN的周長=2（PM+PQ）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，當(dāng)m=﹣2時(shí)，矩形PQMN的周長最大，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，1），CM=AM=1，∴S△ACM=×1×1=；

②∵C（﹣2，1），∴P（﹣2，3），∴PC=3﹣1=2．

∵點(diǎn)P、C、G、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，GF∥y軸，∴GF∥PC，且GF=PC．

設(shè)G（x，x+3），則F（x，﹣x2﹣2x+3），當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方時(shí)，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去），當(dāng)x=﹣1時(shí)，﹣x2﹣2x+3=4，即F1（﹣1，4）；

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)G的下方時(shí)，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得：x=或x=．

當(dāng)x=時(shí)，﹣x2﹣2x+3=；

當(dāng)x=時(shí)，﹣x2﹣2x+3=，

故F2（），F3（）．

綜上所示，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1（﹣1，4），F2（），F3（）．