Question

【題目】如圖，點在以為直徑的上，的平分線交于點，過點作的平行線交的延長線于點.

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由為的直徑得到∠ACB=90，根據(jù)CD平分∠ACB及圓周角定理得到∠AOD=90，再根據(jù)DE∥AB推出OD⊥DE ，即可得到是的切線；

（2）過點C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，求出OH，根據(jù)△CHM∽△DOM求出HM得到AM，再利用平行線證明△CAM∽△CED，即可求出DE.

（1）如圖，連接OD，

∵為的直徑，

∴∠ACB=90，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=45，

∴∠AOD=90，

即OD⊥AB，

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE ,

∴是的切線；

（2）過點C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，

∵∠ACB=90，，，

∴AB=,

∵S△ABC=,

∴CH=,

∴AH=,

∴OH=OA-AH=5-3.6=1.4，

∵∠CHM=∠DOM=90，∠HMC=∠DMO,

∴△CHM∽△DOM,

∴

∴=，，

∴HM=,

∴AM=AH+HM=,

∵AB∥DE,

∴△CAM∽△CED,

∴,

∴DE=.