【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC= ,BC=3,△DEF是邊長(zhǎng)為a(a為小于3的常數(shù))的等邊三角形,將△DEF沿AC方向平移,使點(diǎn)D在線段AC上,DE∥AB,設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長(zhǎng)為T(mén).
(1)求證:點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù);
(2)若AD= ,當(dāng)a=2時(shí),求T的值;
(3)若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示T.
【答案】
(1)
解:由題意得:tanA= = = ,
∴∠A=60°.
∵DE∥AB,
∴∠CDE=∠A=60°.
如答圖1所示,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H,
則EH=DEsin∠CDE=a = a.
∴點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù)
(2)
解:若AD= ,當(dāng)a=2時(shí),如答圖2所示.
設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N.
∵△DEF為等邊三角形,∴∠MDE=60°,
由(1)知∠CDE=60°,
∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°,
又∵∠A=60°,
∴△ADM為等邊三角形,
∴DM=AD= .
過(guò)點(diǎn)M作MG∥AC,交DE于點(diǎn)G,則∠DMG=∠ADM=60°,
∴△DMG為等邊三角形,
∴DG=MG=DM= .
∴GE=DE﹣DG=2﹣ = .
∵∠MGD=∠E=60°,∴MG∥NE,
又∵DE∥AB,
∴四邊形MGEN為平行四邊形.
∴NE=MG= ,MN=GE= .
∴T=DE+DM+MN+NE=2+ + + =
(3)
解:若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處,分情況討論如下:
①若0<a≤ ,△DEF在△ABC內(nèi)部,如答圖3所示:
∴T=3a;
②若 <a≤ ,點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部,點(diǎn)F在△ABC外部,在如答圖4所示:
設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N,過(guò)點(diǎn)M作MG∥AC交DE于點(diǎn)G.
與(2)同理,可知△ADM、△DMG均為等邊三角形,四邊形MGEN為平行四邊形.
∴DM=DG=NE=AD= ,MN=GE=DE﹣DG=a﹣ ,
∴T=DE+DM+MN+NE=a+ +(a﹣ )+ =2a+ ;
③若 <a<3,點(diǎn)E、F均在△ABC外部,如答圖5所示:
設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N,BC與DE、EF分別交于點(diǎn)P、Q.
在Rt△PCD中,CD= ,∠CDP=60°,∠DPC=30°,
∴PC=CDtan60°= × = .
∵∠EPQ=∠DPC=30°,∠E=60°,∴∠PQE=90°.
由(1)知,點(diǎn)E到AC的距離為 a,∴PQ= a﹣ .
∴QE=PQtan30°=( a﹣ )× = a﹣ ,PE=2QE=a﹣ .
由②可知,四邊形MDEN的周長(zhǎng)為2a+ .
∴T=四邊形MDEN的周長(zhǎng)﹣PE﹣QE+PQ=(2a+ )﹣(a﹣ )﹣( a﹣ )+( a﹣ )= a+ ﹣ .
綜上所述,若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處,T的關(guān)系式為:
T=
【解析】(1)解直角三角形,求得點(diǎn)E到AC的距離等于 a,這是一個(gè)定值;(2)如答圖2所示,作輔助線,將四邊形MDEN分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)平行四邊形,求出其周長(zhǎng);(3)可能存在三種情形,需要分類(lèi)討論:①若0<a≤ ,△DEF在△ABC內(nèi)部,如答圖3所示;②若 <a≤ ,點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部,點(diǎn)F在△ABC外部,在如答圖4所示;③若 <a<3,點(diǎn)E、F均在△ABC外部,如答圖5所示.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù) 的圖象相交于A,B兩點(diǎn),且與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(﹣6,0),(0,6),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣4.
(1)試確定反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)直接寫(xiě)出不等式 的解.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)P在邊CD上,且與C、D不重合,過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,連接PQ,M為PQ中點(diǎn).
(1)求證:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng),設(shè)DP=x,BM2=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求線段BM的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,隨著a的大小的變化,點(diǎn)M的位置也在變化.當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí),求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小李與小陸從A地出發(fā),騎自行車(chē)沿同一條路行駛到B地,他們離出發(fā)地的距離S(單位:km)和行駛時(shí)間t(單位:h)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說(shuō)法: 1)他們都行駛了20km;
2)小陸全程共用了1.5h;
3)小李與小陸相遇后,小李的速度小于小陸的速度;
4)小李在途中停留了0.5h.
其中正確的有( )
A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)市場(chǎng)將一批蘋(píng)果分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),統(tǒng)計(jì)后將結(jié)果制成條形圖,已知A等級(jí)蘋(píng)果的重量占這批蘋(píng)果總重量的30%. 回答下列問(wèn)題:
(1)這批蘋(píng)果總重量為kg;
(2)請(qǐng)將條形圖補(bǔ)充完整;
(3)若用扇形圖表示統(tǒng)計(jì)結(jié)果,則C等級(jí)蘋(píng)果所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為度.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將菱形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心O處,折痕為EF,若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,∠A=120°,則EF=cm.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=a(x﹣m)2﹣a(x﹣m)(a,m為常數(shù),且a≠0).
(1)求證:不論a與m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn).
(2)設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于D點(diǎn).
①當(dāng)△ABC的面積為1時(shí),求a的值.
②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí),求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y1=﹣x2+mx+n,直線y2=kx+b,y1的對(duì)稱軸與y2交于點(diǎn)A(﹣1,5),點(diǎn)A與y1的頂點(diǎn)B的距離是4.
(1)求y1的解析式;
(2)若y2隨著x的增大而增大,且y1與y2都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn),求y2的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BM是⊙O的直徑,四邊形ABMN是矩形,D是⊙O上的點(diǎn),DC⊥AN,與AN交于點(diǎn)C,己知AC=15,⊙O的半徑為30,求 的長(zhǎng).
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com