Question

已知如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)E自A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度向D點(diǎn)前進(jìn)，同時(shí)點(diǎn)F從D點(diǎn)以每秒2cm的速度向C點(diǎn)前進(jìn)，若移動(dòng)的時(shí)間為t，且0≤t≤6．
（1）當(dāng)t為多少時(shí)，DE=2DF；
（2）四邊形DEBF的面積是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由．
（3）以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形能否與△BCD相似？若能，請求出所有可能的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)DE=AD-t=6-t，DF=2t，即可求解；
（2）由四邊形DEBF的面積=矩形的面積-S_△ABE-S_△BCF即可證明；
（3）假設(shè)以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形能與△BCD相似，那么根據(jù)

ED

BC

=

DF

DC

或

ED

CD

=

DF

BC

，即可求出t的值；

解答：解：（1）由題意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=

6

5

，
故當(dāng)t=

6

5

時(shí)，DE=2DF；

（2）∵矩形ABCD的面積為：12×6=72，S_△ABE=

1

2

×12×t=6t，
S_△BCF=

1

2

×6×（12-2t）=36-6t，
∴四邊形DEBF的面積=矩形的面積-S_△ABE-S_△BCF=72-6t-36+6t
=36，故四邊形DEBF的面積為定值；

（3）設(shè)以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形能與△BCD相似，則

ED

BC

=

DF

DC

或

ED

CD

=

DF

BC

，
由ED=6-t，DF=2t，F(xiàn)C=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t=

3

2

，
故當(dāng)t=

3

2

時(shí)，以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難度適中，關(guān)鍵是掌握用分類討論的思想進(jìn)行求解．