Question

如圖，直線y=-

3

3

x+2與x軸，y軸分別相交于點A，B．將△AOB繞點O按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜360°），可得△COD．

（1）求點A，B的坐標；
（2）當點D落在直線AB上時，直線CD與OA相交于點E，△COD和△AOB的重疊部分為△ODE（圖①）．求證：△ODE∽△ABO；
（3）除了（2）中的情況外，是否還存在△COD和△AOB的重疊部分與△AOB相似，若存在，請指出旋轉角α的度數(shù)；若不存在，請說明理由；
（4）當α=30°時（圖②），CD與OA，AB分別相交于點P，M，OD與AB相交于點N，試求△COD與△AOB的重疊部分（即四邊形OPMN）的面積．

Answer 1

（1）令x=0，得y=2；令y=0，得x=2

3

，
所以A（2

3

，0），B（0，2）．
并且OB=2，OA=2

3

，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°．

（2）由旋轉可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°，
∵∠B=60°，
∴△OBD是等邊三角形，∠DOE=90°-60°=30°=∠BAO，
△ODE∽△AOB．

（3）有．
當OC⊥AB時，設垂足為M，這時有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B
∴△OMB∽△AOB．
∴α=270°+30°=300°，
即旋轉300°．

（4）∵當α=30°時∠BNO=90°，∠D=60°，
∴OD=2，ON=

3

，DN=2-

3

，MN=2

3

-3，△ODP是等邊三角形，OP=OD=2．
S_陰影=S_△OPD-S_△DMN
=

1

2

×2×

3

-

1

2

（2-

3

）（2

3

-3）
=6-

5

2

3

．