Question

在平面之間坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-的圖象與x軸y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：在y=中，令x=0，解得：y=2，則B的坐標(biāo)是（0，2）；
在y=-中令y=0，解得：x=4，則A的坐標(biāo)是（4，0）．
當(dāng)O是直角頂點(diǎn)時(shí)，P一定在x軸上，與△AOB重合，不符合題意；
當(dāng)B是直角頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)△OPB的邊OB與△AOB的邊BO是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，即△AOB∽△PBO時(shí)，P的坐標(biāo)是（4，2）；
當(dāng)△AOB∽△OBP時(shí)，=，即=，解得：BP=1，則P的坐標(biāo)是（1，2）；
當(dāng)P是直角頂點(diǎn)，當(dāng)△AOB∽△OPB時(shí)，OP是直角△AOB斜邊AB上的高，如圖1，
則AB===2，
OB²=PB•AB，則BP===，
∴AP=AB-BP=2-=，
∴OP==，
過(guò)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．
則△PCO∽△AOB，
∴====，
∴OC=OB=，PC=OA=，則P的坐標(biāo)是（，）；
當(dāng)△AOB∽△BPO時(shí)，如圖2，則=，即=，解得：OP=，
過(guò)P作PD⊥x軸，則△OPD∽△ABO，
∴====，
則PD=OB=0.4，OD=OA=0.8，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1）．
故P的坐標(biāo)是：（4，2）或（1，2）或（，）或（0.8，0.4）．
分析：首先求得A、B的坐標(biāo)，然后分O，B，P分別是直角頂點(diǎn)三種情況討論，每種情況再分那條邊與OB是對(duì)應(yīng)邊兩種情況進(jìn)行討論，即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形相似的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．