【題目】拋物線L:y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(0,1),與它的對稱軸直線x=1交于點B.

(1)直接寫出拋物線L的解析式;

(2)如圖1,過定點的直線y=kx﹣k+4(k<0)與拋物線L交于點M、N.若BMN的面積等于1,求k的值;

(3)如圖2,將拋物線L向上平移m(m>0)個單位長度得到拋物線L1,拋物線L1y軸交于點C,過點Cy軸的垂線交拋物線L1于另一點D.F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點,P為線段OC上一點.若PCDPOF相似,并且符合條件的點P恰有2個,求m的值及相應(yīng)點P的坐標.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+1;(2)-3;(3)m=2﹣1時,點P的坐標為(0,)和(0,);當m=2時,點P的坐標為(0,1)和(0,2).

【解析】

1)根據(jù)對稱軸為直線x=1且拋物線過點A(0,1)利用待定系數(shù)法進行求解可即得;

(2)根據(jù)直線y=kx﹣k+4=k(x﹣1)+4知直線所過定點G坐標為(1,4),從而得出BG=2,由SBMN=SBNG﹣SBMG=BGxNBGxM=1得出xN﹣xM=1,聯(lián)立直線和拋物線解析式求得x=,根據(jù)xN﹣xM=1列出關(guān)于k的方程,解之可得;

(3)設(shè)拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m,知C(0,1+m)、D(2,1+m)、F(1,0),再設(shè)P(0,t),分PCD∽△POFPCD∽△POF兩種情況,由對應(yīng)邊成比例得出關(guān)于tm的方程,利用符合條件的點P恰有2個,結(jié)合方程的解的情況求解可得.

1)由題意知,解得:

∴拋物線L的解析式為y=﹣x2+2x+1;

(2)如圖1,設(shè)M點的橫坐標為xM,N點的橫坐標為xN,

y=kx﹣k+4=k(x﹣1)+4,

∴當x=1時,y=4,即該直線所過定點G坐標為(1,4),

y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2,

∴點B(1,2),

BG=2,

SBMN=1,即SBNG﹣SBMG=BG(xN﹣1)-BG(xM-1)=1,

xN﹣xM=1,

:x2+(k﹣2)x﹣k+3=0,

解得:x==,

xN=、xM=,

xN﹣xM=1=1,

k=±3,

k<0,

k=﹣3;

(3)如圖2,

設(shè)拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m,

C(0,1+m)、D(2,1+m)、F(1,0),

設(shè)P(0,t),

(a)PCD∽△FOP時,

,

t2﹣(1+m)t+2=0

(b)PCD∽△POF時,

,

t=(m+1)

Ⅰ)當方程①有兩個相等實數(shù)根時,

=(1+m)2﹣8=0,

解得:m=2﹣1(負值舍去),

此時方程①有兩個相等實數(shù)根t1=t2=,

方程②有一個實數(shù)根t=,

m=2﹣1,

此時點P的坐標為(0,)和(0,);

Ⅱ)當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時,

把②代入①,得:(m+1)2(m+1)+2=0,

解得:m=2(負值舍去),

此時,方程①有兩個不相等的實數(shù)根t1=1、t2=2,

方程②有一個實數(shù)根t=1,

m=2,此時點P的坐標為(0,1)和(0,2);

綜上,當m=2﹣1時,點P的坐標為(0,)和(0,);

m=2時,點P的坐標為(0,1)和(0,2).

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