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【題目】已知點O是正方形ABCD對角線BD的中點.
(1)如圖1,若點E是OD的中點,點F是AB上一點,且使得∠CEF=90°,過點E作ME∥AD,交AB于點M,交CD于點N.

①∠AEM=∠FEM; ②點F是AB的中點;
(2)如圖2,若點E是OD上一點,點F是AB上一點,且使 = = ,請判斷△EFC的形狀,并說明理由;

(3)如圖3,若E是OD上的動點(不與O,D重合),連接CE,過E點作EF⊥CE,交AB于點F,當 = 時,請猜想 的值(請直接寫出結論).

【答案】
(1)證明:①∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABD=45°,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AE=CE,

∵ME∥AD,

∴ME⊥AB,∠AME=∠BME=∠BAD=90°,∠ENC=∠ADC=90°,

∴△BME是等腰直角三角形,四邊形BCNM是矩形,

∴BM=EM,BM=CN,

∴EM=CN,

在Rt△AME和Rt△ENC中, ,

∴Rt△AME≌Rt△ENC(HL),

∴∠AEM=∠ECN,

∵∠CEF=90°,

∴∠FEM+∠CEN=90°,

∵∠ECN+∠CEN=90°,

∴∠FEM=∠ECN,

∴∠AEM=∠FEM;

②在△AME和△FME中,∠AME=∠FME=90°,∠AEM=∠FEM,

∴∠EAF=∠EFA,

∴AE=FE,

∵ME⊥AF,

∴AM=FM,

∴AF=2AM,

∵點E是OD的中點,O是BD的中點,

=

∵ME∥AD,

= ,

= ,

∴點F是AB的中點;


(2)解:△EFC是等腰直角三角形;理由如下:

過點E作ME∥AD,交AB于點M,交CD于點N.如圖所示:

同(1)得:AE=CE,Rt△AME≌Rt△ENC,

∴∠AEM=∠ECN,

= ,O是DB的中點,

= ,

∵ME∥AD,

= ,

= ,

∴AF=2AM,即M是AF的中點,

∵ME⊥AB,

∴AE=FE,

∴∠AEM=∠FEM,FE=CE,

∵∠ECN+∠CEN=90°,

∴∠FEM+∠CEN=90°,

∴∠CEF=90°,

∴△EFC是等腰直角三角形;


(3)解:當 = 時, = ;理由同(1).

【解析】(1)由正方形的對稱性可知AE=CE,再結合其他條件可證出Rt△AME≌Rt△ENC,可得∠AEM=∠ECN,再由同角的余角相等證出結論;由平行線分線段成比例定理可得,DN=AM,AF=2AM,即AF=AB,即點F是AB的中點;(2)模仿第(1)題的圖形,缺少過E的MN水平線,因此需要作這條輔助線,同(1)得:AE=CE,Rt△AME≌Rt△ENC,再模仿(1)的方法,運用平行線分線段成比例定理,得出結論;(3)類比(1).,二者存在2倍關系,可猜想,證法同(1),需作水平的MN線.
【考點精析】認真審題,首先需要了解相似三角形的性質(對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形),還要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:兩角對應相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應成比例,兩三角形相似(SSS))的相關知識才是答題的關鍵.

練習冊系列答案
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【題目】如圖①,在ABC 中,AD平分∠BACAEBC,∠B=40°,∠C=70°.

(1)求∠DAE的度數;

(2)如圖②,若把“AEBC”變成“點FDA的延長線上,FEBC”,其它條件不變,求∠DFE的度數.

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(1)如果小明第一題不使用“求助”,那么小明答對第一道題的概率是
(2)如果小明將“求助”留在第二題使用,請用樹狀圖或者列表來分析小明順利通關的概率.

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A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°

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(2)已知甲工程隊每月施工費用為15萬元,比乙工程隊多6萬元,按要求該工程總費用不超過141萬元,工程必須在一年內竣工(包括12個月).為了確保經費和工期,采取甲、乙工程隊同時開工,甲工程隊做個月,乙工程隊做個月(均為整數)分工合作的方式施工,問有哪幾種施工方案?

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(1)求證:△ABG≌△CDE;
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(3)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四邊形EFGH的面積.

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(1)①∠ABN的度數是 ;②∵AM //BN,∴∠ACB=∠ ;

(2)求∠CBD的度數;

(3)當點P運動時,∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發(fā)生變化?若不變化,請寫出它們之間的關系,并說明理由;若變化,請寫出變化規(guī)律.

(4)當點P運動到使∠ACB=∠ABD時,∠ABC的度數是 .

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