如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點(diǎn)O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．
（1）試比較EO、EC的大小，并說明理由；
（2）令m=
S四邊形CFGH
S四邊形CMNO
，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若CO=1，CE=
1
3
，Q為AE上一點(diǎn)且QF=
2
3
，拋物線y=mx2+bx+c經(jīng)過C、Q兩點(diǎn)，請求出此拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，若拋物線y=mx2+bx+c與線段AB交于點(diǎn)P，試問在直線BC上是否存在點(diǎn)K，使得以P、B、K為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似？若存在，請求直線KP與y軸的交點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明精英家教網(wǎng)理由．
分析：（1）根據(jù)折疊的條件得到EO=EF，在直角△CEF中，斜邊大于直角邊，因而EF＞EC故EO＞EC
（2）四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積可以用直角△CEF的面積，可以證明四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積相等．因而就可以求出m的值．
（3）已知OC=1，可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），易證△EFQ是等邊三角形，已知QF=
2
3
就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，把C，Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)y=mx2+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函數(shù)的解析式．
（4）過Q作y軸的垂線，已知E，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可以根據(jù)三角形相似，求出OA的長，就可以求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
若△PBK與△AEF相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐標(biāo)．
解答：解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折疊知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF為斜邊，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．

（2）m為定值，理由如下：
∵S四邊形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S四邊形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴m=
S四邊形CFGH
S四邊形CMNO
=1．

（3）∵CO=1，CE=
1
3
，QF=
2
3
，
∴EF=EO=1-
1
3
=
2
3
=QF，
∴cos∠FEC=
1
2
，
∴∠FEC=60°，
∴∠FEA=
180°-60°
2
=60°=∠OEA，∠EAO=30°，
∴△EFQ為等邊三角形，EQ=
2
3
．
作QI⊥EO于I，EI=
1
2
EQ=
1
3
，IQ=
3
2
EQ=
3
3
，精英家教網(wǎng)
∴IO=
2
3
-
1
3
=
1
3
，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
3
，
1
3
)．
∵拋物線y=mx2+bx+c過點(diǎn)C（0，1），Q(
3
3
，
1
3
)，m=1，
∴可求得b=-
3
，c=1，
∴拋物線解析式為y=x2-
3
x+1．

（4）由（3），AO=
3
EO=
2
3
3
，
當(dāng)x=
2
3
3
時(shí)，y=(
2
3
3
)2-
3
×
2
3
3
+1=
1
3
＜AB，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(
2
3
3
，
1
3
)，精英家教網(wǎng)
∴BP=1-
1
3
=
2
3
AO．
方法1：若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下：
①
BK
2
3
=
2
3
2
3
3
時(shí)，BK=
2
3
9
，
∴K點(diǎn)坐標(biāo)為(
4
3
9
，1)或(
8
3
9
，1)；
②
BK
2
3
3
=
2
3
2
3
時(shí)，BK=
2
3
3
，
∴K點(diǎn)坐標(biāo)為(
4
3
3
，1)或（0，1）．
故直線KP與y軸交點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0，-
5
3
)或(0，
7
3
)或(0，-
1
3
)或(0，1)．
方法2：若△BPK與△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
過P作PR⊥y軸于R，則∠RTP=60°或30°．
①當(dāng)∠RTP=30°時(shí)，RT=
2
3
3
×
3
=2，
②當(dāng)∠RTP=60°時(shí)，RT=
2
3
3
÷
3
=
2
3
，
∴T1(0，
7
3
)，T2(0，-
5
3
)，T3(0，-
1
3
)，T4(0，1)．
點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．
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相關(guān)習(xí)題

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（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：將矩形紙片AOCB折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處（如圖），折痕為EF、小明發(fā)現(xiàn)△AEF為等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．
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（2）實(shí)踐與應(yīng)用：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以矩形的邊OC、OA為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，若頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3），請求出折痕EF的長及EF所在直線的函數(shù)關(guān)系式．
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在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=
kx
（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE•AO=BF•BO；
（2）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），求經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出此時(shí)的OF的長；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•慶元縣模擬）已知：在矩形A0BC中，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．E是邊AC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A，C重合），過E點(diǎn)的反比例函數(shù)y=
kx
(k＞0)的圖象與BC邊交于點(diǎn)F．
（1）若△OAE、△OBF的面積分別為S1、S2且S1+S2=2，求k的值；
（2）若OB=4，OA=3，記S=S△OEF-S△ECF問當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，S有最大值，其最大值為多少？
（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)E，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，如圖所示，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，矩形各頂點(diǎn)分別為O（0，0），A（0，6），B（8，6），C（8，0）．點(diǎn)D（0，3）在OA上，點(diǎn)E（4，0）在OC上，連接DE，將△DOE繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），得到△D′OE′，連接AD′，當(dāng)∠AD′O=90°時(shí)，
（1）旋轉(zhuǎn)角α等于
60或300
60或300
度；
（2）求D′、E′的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：同步題 題型：解答題

如圖所示，把矩形OABC 放置在直角坐標(biāo)系中，OA=6，OC=8，若將矩形折疊，使點(diǎn)B與O重合，得到折痕EF。  
（1）可以通過（    ）辦法，使四邊形BEFC變到四邊形AEFO的位置（填“平移”、“旋轉(zhuǎn)”或“翻轉(zhuǎn) ”）；
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；    
（3）若直線a把矩形OABC的面積分成相等的兩部分，則直線a必經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)是_______。

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