Question

14．（1）問題發(fā)現(xiàn)與探究：
如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM⊥AE于點M，連接BE，則：
①線段AE、BD之間的大小關系是AE=BD，∠ADB=90°，并說明理由．
②求證：AD=2CM+BD．
（2）問題拓展與應用：
如圖2、圖3，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點A作直線，在直線上取點D，∠ADC=45°，連結BD，BD=1，AC=$\sqrt{2}$，則點C到直線的距離是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，寫出計算過程．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質得到AC=BC，CE=CD，由∠ACB=∠DCE=90°，得到∠ACE=∠BCD，證得△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，根據鄰補角的定義得到∠AEC=135°即可得到結論；②根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．
（2）如圖2，過C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，于是得到△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，根據勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$AC=2，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，由等腰直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵∠CED=∠CDE=45°，
∴∠AEC=135°，∴∠BDC=135°，
∴∠ADB=90°；
故答案為：AE=BD，90°；
②在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，
∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．
∴AE=DE+AD=2CM+BE；

（2）如圖2，過C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，
則△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，
∵AB=$\sqrt{2}$AC=2，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DE=AD-AE=$\sqrt{3}$-1，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
如圖3所示，過C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，
則△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，
∵AB=$\sqrt{2}$AC=2，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DE=AE+AD=1+$\sqrt{3}$，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴點C到直線的距離是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質，等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．