Question

如圖，將□ABCD的邊DC延長到點E，使CE＝DC，連接AE，交BC于點F．⑴求證：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC＝2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD�！唷螦BF＝∠ECF�！逧C＝DC，∴AB＝EC。在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF
（2）∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形�！郃F＝EF， BF＝CF�！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形。
∴∠ABC＝∠D。又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。 ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB�！郌A＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC�！嗨倪呅蜛BEC是矩形

試題分析：
證明：⑴證明全等三角形，可以采用SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形可用HL，觀察圖形和審題，可以找到對頂角相等，由于位于平行四邊形中，還有內錯角相等，對應邊相等，由此可找出相應條件證明。
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD�！唷螦BF＝∠ECF�！逧C＝DC，∴AB＝EC。在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF。
（2）證明四邊形是矩形，可以通過證明有一個角是90°的平行四邊形，或者證明是對角邊互相平分的平行四邊形。證明過程如下：
∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形。∴AF＝EF， BF＝CF。∵四邊形ABCD是平行四邊形。
∴∠ABC＝∠D。又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。 ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB�！郌A＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC�！嗨倪呅蜛BEC是矩形。
點評：該題考查學生對全等三角形和矩形的證明，要熟練掌握相應的判定定理，尋找題中提供的條件，再選擇證明方法。