Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；

（3）點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值為；（3）存在點(diǎn)P（1，6）．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)對稱性，可得MC=MD，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，可得B，C，M共線，根據(jù)勾股定理，可得答案；

（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得x，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

（1）將A（0，3），C（﹣3，0）代入函數(shù)解析式，得

，解得，

拋物線的解析式是y=x2+x+3；

（2）由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，

∴對l上任意一點(diǎn)有MD=MC，

聯(lián)立方程組 ，

解得（不符合題意，舍），，

∴B（﹣4，1），

當(dāng)點(diǎn)B，C，M共線時(shí)，|MB﹣MD|取最大值，即為BC的長，

過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

，

在Rt△BEC中，由勾股定理，得

BC=，

|MB﹣MD|取最大值為；

（3）存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，

∴∠BCE=45°，

在Rt△ACO中，

∵AO=CO=3，

∴∠ACO=45°，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于Q點(diǎn)，∠PQA=90°，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+x+3）（x＞0）

①當(dāng)∠PAQ=∠BAC時(shí)，△PAQ∽△CAB，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴，即，

∴，

解得x1=1，x2=0（舍去），

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為×12+×1+3=6，

∴P（1，6），

②當(dāng)∠PAQ=∠ABC時(shí)，△PAQ∽△CBA，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，

∴△PGA∽△ACB，

∴，

即=3，

∴，

解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）

∴此時(shí)無符合條件的點(diǎn)P，

綜上所述，存在點(diǎn)P（1，6）．