(2003•西城區(qū)模擬)某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷(xiāo)售,對(duì)三月份至七月份該商品的售價(jià)和成本進(jìn)行了調(diào)研,結(jié)果如下:每件商品的售價(jià)M(元)與時(shí)間t(月)的關(guān)系可用一條線(xiàn)段上的點(diǎn)來(lái)表示(如圖1),每件商品的成本Q(元)與時(shí)間t(月)的關(guān)系可用一條拋物線(xiàn)的一部分上的點(diǎn)來(lái)表示(如圖2).
(說(shuō)明:圖1,圖2中的每個(gè)實(shí)心黑點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價(jià)和成本.)
請(qǐng)你根據(jù)圖象提供的信息回答:
(1)每件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)(利潤(rùn)=售價(jià)-成本)是多少元?
(2)求圖2中表示的每件商品的成本Q(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)自變量的取值范圍);
(3)你能求出三月份至七月份每件商品的利潤(rùn)W(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式嗎(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程,不要求寫(xiě)自變量的取值范圍)?若該公司共有此種商品30000件,準(zhǔn)備在一個(gè)月內(nèi)全部售完,請(qǐng)你計(jì)算一下至少可獲利多少元?

【答案】分析:(1)從圖易知3月份每件商品售價(jià)6元,成本1元,易求利潤(rùn);
(2)根據(jù)圖象特征設(shè)解析式為頂點(diǎn)式易求解析式;
(3)根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算方法,顯然需求直線(xiàn)解析式,再求差,運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算利潤(rùn).
解答:解:(1)每件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)為5元;(1分)

(2)∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4)
∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為Q=a(t-6)2+4
∵拋物線(xiàn)過(guò)(3,1)點(diǎn)
∴1=a(3-6)2+4
解得:a=-∴Q=-(t-6)2+4=-t2+4t-8,其中t=3、4、5、6、7;(3分)

(3)設(shè)每件商品的售價(jià)M(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b
∵線(xiàn)段過(guò)(3,6)、(6,8)兩點(diǎn)
∴3k+b=6 6k+b=8
解得:k=,b=4
∴M=t+4,其中t=3、4、5、6、7(4分)
所以每件商品的利潤(rùn)W(元)與時(shí)間t(月)的函數(shù)關(guān)系式為
W=M-Q=(t+4)-(-t2+4t-8)=t2-t+12(5分)
∴W=(t-5)2+,其中t=3、4、5、6、7
∴當(dāng)t=5時(shí),W的最小值為元(6分)
∴30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完,至少獲利30000×=110000元.
答:30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完,至少獲利110000元.(7分)
點(diǎn)評(píng):此題難度在第3個(gè)問(wèn)題:表示利潤(rùn).運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值常用配方法或公式法.
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(1)當(dāng)拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)線(xiàn)段OB與線(xiàn)段OC長(zhǎng)度相等時(shí),在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)P,以點(diǎn)P為圓心作圓,使它與x軸和直線(xiàn)BD都相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(說(shuō)明:圖1,圖2中的每個(gè)實(shí)心黑點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價(jià)和成本.)
請(qǐng)你根據(jù)圖象提供的信息回答:
(1)每件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)(利潤(rùn)=售價(jià)-成本)是多少元?
(2)求圖2中表示的每件商品的成本Q(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)自變量的取值范圍);
(3)你能求出三月份至七月份每件商品的利潤(rùn)W(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式嗎(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程,不要求寫(xiě)自變量的取值范圍)?若該公司共有此種商品30000件,準(zhǔn)備在一個(gè)月內(nèi)全部售完,請(qǐng)你計(jì)算一下至少可獲利多少元?

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