【題目】如圖(1),在△ABC中,AB=BC,P為AB邊上一點,連接CP,以PA、PC為鄰邊作APCD,AC與PD相交于點E,已知∠ABC=∠AEP=(0°<<90°).
(1)求證: ∠EAP=∠EPA;
(2)APCD是否為矩形?請說明理由;
(3)如圖(2),F為BC中點,連接FP,將∠AEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?/span>,得到∠MEN(點M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點).猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見解析;
(2)APCD是矩形.,理由見解析;
(3)EM=EN,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)AB=BC可證∠CAB=∠ACB,則在△ABC與△AEP中,有兩個角對應(yīng)相等,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可證得;
(2)由(1)知∠EPA=∠EAP,則AC=DP,根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可求證;
(3)可以證明△EAM≌△EPN,從而得到EM=EN.
證明:(1)在△ABC和△AEP中,
∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC.∠ACB=∠BAC,
∠EPA=∠EAP,
(2)APCD是矩形.
四邊形APCD是平行四邊形,
AC=2EA,PD=2EP.
由(1)知, ∠EPA=∠EAP.
EA=EP,進而AC=PD
APCD是矩形.
(3)EM=EN
EA=EP,∠EPA=90° -
∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+
由(2)知, ∠CPB=90°,F是BC的中點,FP=FB,
∠FPB=∠ABC=,
∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° -+=90°+
∠EAM=∠EPN
∠AEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌龋玫?/span>∠MEN,
∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.
△EAM≌△EPN,
EM=EN.
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【題目】如圖,有長為 24m 的籬笆,現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長度 a 為 10m)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃,設(shè)花圃的寬 AB 為 xm,面積為 Sm2.
(1) 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及 x 值的取值范圍;
(2) 要圍成面積為 45m2 的花圃,AB 的長是多少米?
(3) 當(dāng) AB 的長是多少米時,圍成的花圃的面積最大?
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【題目】已知關(guān)于 x 的函數(shù) y=(m﹣1)x2+2x+m 圖象與坐標(biāo)軸只有 2 個交點,則m=_______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于點A(3,1),且過點B(0,﹣2).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;
(2)如果點P是x軸上一點,且△ABP的面積是3,求點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,△ABC中,D是BC邊上一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于F,且AF=CD,連接CF.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】甲、乙兩人相約周末登花果山,甲、乙兩人距地面的高度(米)與登山時間(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:
(1)甲登山上升的速度是每分鐘 米,乙在地時距地面的高度為 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,請求出乙登山全程中,距地面的高度(米)與登山時間(分)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)登山多長時間時,甲、乙兩人距地面的高度差為50米?
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【題目】如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,且AD⊥BD,E為AC的中點,AD=6cm,BD=8cm,BC=16cm,則DE的長為_____cm.
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【題目】已知⊙O 的直徑為 4,AB 是⊙O 的弦,∠AOB=120°,點 P 在⊙O 上,若點 P到直線 AB 的距離為 1,則∠PAB 的度數(shù)為_____.
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【題目】在正方形ABCD中,對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE=DF,連接AE、AF、CE、CF,如圖所示.
(1)求證:△ABE≌△ADF;
(2)試判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.
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