Question

【題目】如圖，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB、CD之間有一動點(diǎn)P，滿足0°<∠EPF<180°.

（1）試問∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解：由于點(diǎn)P是平行線AB、CD之間有一動點(diǎn)，因此需要對點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論；如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為______________，如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為______________。

（2）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點(diǎn)P在EF左側(cè).

①若∠EPF=60°，則∠EQF=_______°.

②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點(diǎn)Q3，此次類推，則∠EPF與∠EQ2018F滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF，∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°；

（2）①150；

②∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為∠EPF+2∠EQF=360°，理由詳見解析；

③∠EPF+22019∠EQ2018F=360°.

【解析】

（1）如圖1，過點(diǎn)P作PH∥AB，證得 AB∥PH∥CD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得結(jié)論，如圖2，過點(diǎn)P作PH∥AB，證得AB∥PH∥CD ，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得結(jié)論；

（2）①如圖3，過點(diǎn)P作PH∥AB，過點(diǎn)Q作QG∥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ ，由∠EPF=60°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，即可求得結(jié)論；

②同①即可得結(jié)論；

③由（2）②知∠EPF+2∠EQF=360°，進(jìn)而∠EPF+22∠EQ1F=360°，

∠EPF+23∠EQ2F=360°，由規(guī)律即可求得結(jié)論.

（1）如圖1，過點(diǎn)P作PH∥AB，

∵AB∥CD，PH∥AB，∴AB∥PH∥CD，

∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠FPH，

∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，

∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，

如圖2，過點(diǎn)P作PH∥AB，

∵AB∥CD，PH∥AB，

∴AB∥PH∥CD，

∴∠AEP+∠EPH=180°，∠CFP+∠FPH=180°，

∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，

∴∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°.

故答案為∠AEP+∠PFC=∠EPF，∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°；

（2）①如圖3，過點(diǎn)P作PH∥AB，過點(diǎn)Q作QG∥AB，

∵AB∥CD，PH∥AB，

∴AB∥PH∥CD，

∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠FPH，

∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，

∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，

同理：∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵∠EPF=60°，

∴∠AEP+∠PFC=60°，

∴∠BEP+∠DEP=300°，

∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEQ+∠DFQ=150°,

∴∠EQF=150°；

（2）②∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為∠EPF+2∠EQF=360°，

理由：

由（1）和（2）①可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ，

∴∠BEP+∠DFP=2（∠BEQ+∠DFQ）=2∠EQF，

∴∠EPF+2∠EQF=360°；

（3）由（2）②知∠EPF+2∠EQF=360°，

同理可證：∠EPF+22∠EQ1F=360°，

∠EPF+23∠EQ2F=360°，

……

∠EPF+22019∠EQ2018F=360°，

故答案為∠EPF+22019∠EQ2018F=360°.