Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，E是AB邊上一點(diǎn)（E不與A、B重合），F(xiàn)是AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF=2BE．四邊形AEGF是句型，其面積y隨BE的長(zhǎng)x的變化而變化且構(gòu)成函數(shù)．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若上述（1）中是二次函數(shù)，請(qǐng)用配方法把它轉(zhuǎn)化成y=a（x-h）²+k的形式，并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大（或最�。┲�，該值是多少？
（3）直接寫出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）表示出AE、AF，然后根據(jù)矩形的面積公式列式整理即可得解；
（2）根據(jù)配方法整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，BE=x，DF=2BE，
∴AE=AB-BE=4-x，AF=AD+DF=4+2x，
∴y=（4-x）（4+2x）=-2x²+4x+16，
∵E不與A、B重合，
∴0＜x＜4，
故y=-2x²+4x+16（0＜x＜4）；

（2）y=-2x²+4x+16=-2（x²-2x+1）+2+16=-2（x-1）²+18，
∴y=-2（x-1）²+18，
∵a=-2＜0，
∴x=1時(shí)，y有最大值，最大值為18；

（3）令y=0，則-2x²+4x+16=0，
整理得，2x²-4x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=4，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)的最值問題，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，讀懂題目信息并理解“句型”的定義是解題的關(guān)鍵．