【題目】如圖1,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B,與y軸交于C,拋物線的頂點(diǎn)為D,直線l過C交x軸于E(4,0).
(1)寫出D的坐標(biāo)和直線l的解析式;
(2)P(x,y)是線段BD上的動點(diǎn)(不與B,D重合),PF⊥x軸于F,設(shè)四邊形OFPC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)點(diǎn)Q在x軸的正半軸上運(yùn)動,過Q作y軸的平行線,交直線l于M,交拋物線于N,連接CN,將△CMN沿CN翻折,M的對應(yīng)點(diǎn)為M′,在圖2中探究:是否存在點(diǎn)Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請求出Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)D(1,4),y=-x+3;(2)S=-(x-)2+,當(dāng)x=時,S有最大值,最大值為;(3)Q的坐標(biāo)為(,0)或(4,0).
【解析】
試題分析:(1)先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式即可得到D點(diǎn)坐標(biāo),再求出C點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式;
(2)先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B(3,0),再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=-2x+6,則P(x,-2x+6),然后根據(jù)梯形的面積公式可得S=-x2+x(1≤x≤3),再利用而此函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值;
(3)如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則可表示出M(t,-t+3),N(t,-t2+2t+3),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到MN=|t2-t|,CM=t,然后證明NM=CM得到|t2-t|=t,再解絕對值方程求滿足條件的t的值,從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴D(1,4),
當(dāng)x=0時,y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,
把C(0,3),E(4,0)分別代入得,解得,
∴直線l的解析式為y=-x+3;
(2)如圖(1),當(dāng)y=0時,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,則B(3,0),
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,
把B(3,0),D(1,4)分別代入得,解得,
∴直線BD的解析式為y=-2x+6,
則P(x,-2x+6),
∴S=(-2x+6+3)x=-x2+x(1≤x≤3),
∵S=-(x-)2+,
∴當(dāng)x=時,S有最大值,最大值為;
(3)存在.
如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則M(t,-t+3),N(t,-t2+2t+3),
∴MN=|-t2+2t+3-(-t+3)|=|t2-t|,
CM==t,
∵△CMN沿CN翻轉(zhuǎn),M的對應(yīng)點(diǎn)為M′,M′落在y軸上,
而QN∥y軸,
∴MN∥CM′,NM=NM′,CM′=CM,∠CNM=∠CNM′,
∴∠M′CN=∠CNM,
∴∠M′CN=∠CNM′,
∴CM′=NM′,
∴NM=CM,
∴|t2-t|=t,
當(dāng)t2-t=t,解得t1=0(舍去),t2=4,此時Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0);
當(dāng)t2-t=-t,解得t1=0(舍去),t2=,此時Q點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,0)或(4,0).
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題的個數(shù)有( )
①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;
②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;
③一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】Rt△ABC中,∠C=90° , a:b=3:4,運(yùn)用計算器計算,∠A的度數(shù)(精確到1°)( 。
A.30°
B.37°
C.38°
D.39°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一個有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上,測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角,如圖,則三角板的最大邊的長為( )
A.3cm B.6cm C.cm D.cm
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若干個蘋果分給x個小孩,如果每人分3個,那么余7個;如果每人分5個,那么最后一人分到的蘋果不足5個,則x滿足的不等式組為( )
A.0<(3x+7)﹣5(x﹣1)≤5
B.0<(3x+7)﹣5(x﹣1)<5
C.0≤(3x+7)﹣5(x﹣1)<5
D.0≤(3x+7)﹣5(x﹣1)≤5
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形中,,.分別以所在直線為軸和軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.是邊上一點(diǎn),過點(diǎn)的反比例函數(shù)圖象與邊交于點(diǎn).
(1)請用k表示點(diǎn)E,F的坐標(biāo);
(2)若的面積為,求反比例函數(shù)的解析式.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com